Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Stokessches Gesetz

Das stokessche Gesetz beschreibt die Widerstandskraft, die ein zähes Fluid auf eine kleine, langsam bewegte Kugel ausübt. Anders als der Widerstand eines schnellen Autos oder Flugzeugs wächst diese Kraft direkt proportional zur Geschwindigkeit, weil die Zähigkeit des Fluids und nicht seine Trägheit dominiert. Das Gesetz liegt der Sedimentationsanalyse, der Aerosolphysik, der Kugelfallmethode zur Viskositätsmessung sowie der Physik von Regentropfen und sinkenden Teilchen zugrunde.

Die Gleichung

Für eine kleine, starre Kugel, die sich langsam durch ein unbegrenztes newtonsches Fluid bewegt, lautet die Widerstandskraft:

$F = 6\pi\, \mu\, r\, v$

Dabei ist $F$ die Widerstandskraft, $\mu$ die dynamische Viskosität des Fluids, $r$ der Kugelradius und $v$ die Geschwindigkeit relativ zum Fluid. Die Kraft wirkt entgegen der Bewegungsrichtung. Da sie linear in $v$ ist, verdoppelt eine doppelte Geschwindigkeit auch den Widerstand — ein Kennzeichen des langsamen, zähigkeitsdominierten Bereichs.

Symboltabelle

Rechenbeispiel

Warum der Widerstand linear von der Geschwindigkeit abhängt

Im Alltagsmaßstab wächst der Widerstand mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, weil das bewegte Objekt Fluid verdrängen muss und dieser Trägheitsaufwand steil ansteigt. Für eine winzige, langsame Kugel in einem zähen Fluid ist das Bild anders: Die Trägheit ist vernachlässigbar, und der Widerstand entsteht fast ausschließlich durch die viskose Scherung der Fluidschichten um die Kugel. Das Ergebnis ist eine Kraft, die nur linear mit der Geschwindigkeit steigt. Die Grenze zwischen beiden Bereichen wird durch die Reynolds-Zahl bestimmt, die Trägheits- und Zähigkeitskräfte vergleicht. Das stokessche Gesetz gilt, wenn diese Zahl deutlich unter 1 liegt.

Sinken und Endgeschwindigkeit

Die häufigste Anwendung des stokesschen Gesetzes besteht darin, zu bestimmen, wie schnell ein Teilchen unter der Schwerkraft in einem Fluid sinkt. Während das Teilchen fällt, nimmt der Widerstand mit der Geschwindigkeit zu, bis er die resultierende Abwärtskraft — Gewicht minus Auftrieb — ausgleicht. Ab diesem Punkt bewegt sich das Teilchen mit einer konstanten Endgeschwindigkeit (Sinkgeschwindigkeit):

$v_t = \frac{2\, r^2\, (\rho_p - \rho_f)\, g}{9\, \mu}$

Dabei sind $\rho_p$ und $\rho_f$ die Dichten von Teilchen und Fluid und $g$ die Fallbeschleunigung. Diese Sinkgeschwindigkeitsbeziehung dient dazu, Teilchen in Absetzbecken zu klassieren, Zentrifugendaten zu deuten und abzuschätzen, wie lange Staub oder Tröpfchen in der Luft schweben.

Geltungsbereich und Grenzen

Das stokessche Gesetz setzt eine Schleichströmung voraus, also eine Reynolds-Zahl deutlich unter 1. Die Kugel muss klein, starr und glatt sein, das Fluid newtonsch und inkompressibel, und die Strömung stationär und laminar. Außerdem wird angenommen, dass die Kugel weit von jeder Wand und von anderen Teilchen entfernt ist, sodass das umgebende Fluid praktisch unbegrenzt ist.

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt — größere Teilchen, höhere Geschwindigkeiten oder dichte Suspensionen —, verliert das Gesetz an Genauigkeit. Nähert sich die Reynolds-Zahl dem Wert 1, machen Trägheitseffekte den tatsächlichen Widerstand größer als vom stokesschen Gesetz vorhergesagt, und Korrekturen wie die Oseen-Näherung oder eine empirische Widerstandskurve sind nötig. Bei großen Reynolds-Zahlen ist die Strömung trägheitsdominiert, und das quadratische Widerstandsgesetz $F = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A$ übernimmt vollständig.

Verwandte Rechner

Um zu prüfen, ob die Annahme der Schleichströmung zutrifft, berechnet man die die Reynolds-Zahl-Rechner für die Kugel und bestätigt, dass sie unter 1 liegt. Für die konstante Sinkgeschwindigkeit eines Teilchens, bei der sich Widerstand und Schwerkraft ausgleichen, dient der der Endgeschwindigkeit-Rechner. Und für trägheitsdominierte Strömung bei höheren Geschwindigkeiten ist der allgemeine der Strömungswiderstand-Rechner die passende Beziehung.