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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Abbildungsmaßstab-Rechner

Eingaben

Gegenstandsweite30 cm
Bildweite15 cm
Gegenstandsgröße5 cm

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/lens-magnification

Physik

Abbildungsmaßstab-Rechner

Berechne den Abbildungsmaßstab und die Bildgröße einer dünnen Linse oder eines Spiegels aus Gegenstandsweite, Bildweite und Gegenstandsgröße. Der Maßstab m = −dᵢ/dₒ und die Bildgröße hᵢ = m·hₒ zeigen, ob das Bild aufrecht oder umgekehrt, vergrößert oder verkleinert ist.

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m = -\dfrac{d_i}{d_o} = -\dfrac{15}{30} = ?
h_i = m\,h_o = \left(?\right)\left(5\,\text{cm}\right) = ?\,\text{cm}

Der Betrag ist kleiner als 1, das Bild ist also kleiner als der Gegenstand.

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Abbildungsmaßstab-Rechner

Der Abbildungsmaßstab beschreibt, wie groß ein Bild im Vergleich zum Gegenstand ist und in welche Richtung es weist. Für eine dünne Linse oder einen sphärischen Spiegel lautet der Abbildungsmaßstab m=−didom = -\frac{d_i}{d_o}, wobei dod_o die Gegenstandsweite und did_i die Bildweite ist. Dieselbe Zahl ist das Verhältnis der Höhen, m=hihom = \frac{h_i}{h_o}, sodass die Bildgröße aus hi=m hoh_i = m\,h_o folgt.

Dieser Rechner nimmt Gegenstandsweite, Bildweite und Gegenstandsgröße und liefert den Maßstab und die Bildgröße sowie die Angabe, ob das Bild aufrecht oder umgekehrt, vergrößert oder verkleinert ist.

Was das Vorzeichen bedeutet

Der Abbildungsmaßstab enthält zwei Informationen zugleich. Sein Betrag ist, um wie viel größer oder kleiner das Bild ist: ein Wert von 2 verdoppelt die Größe, 0,5 halbiert sie. Sein Vorzeichen gibt die Orientierung an. Ein negativer Maßstab bedeutet ein umgekehrtes Bild — auf dem Kopf stehend —, ein positiver bedeutet ein aufrechtes Bild.

Eine positive Bildweite entspricht einem reellen Bild: bei einer Linse auf der anderen Seite, bei einem Spiegel davor, und es lässt sich auf einen Schirm projizieren. Ein reelles Bild hat stets einen negativen Maßstab, ist also umgekehrt. Eine negative Bildweite entspricht einem virtuellen Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand, wie beim Blick durch eine Lupe; es hat einen positiven Maßstab und ist aufrecht.

Formel

GrößeSymbolBedeutung
Gegenstandsweitedod_oAbstand Gegenstand–Linse/Spiegel (positiv)
Bildweitedid_iAbstand zum Bild; positiv reell, negativ virtuell
Gegenstandsgrößehoh_oHöhe über der Achse (positiv)
Abbildungsmaßstabmmm=−dido=hihom = -\frac{d_i}{d_o} = \frac{h_i}{h_o}
Bildgrößehih_ihi=m hoh_i = m\,h_o

Rechenbeispiel

Ein Kameraobjektiv bildet einen 5 cm hohen Gegenstand ab. Der Gegenstand steht 30 cm vor der Linse und das Bild entsteht 15 cm dahinter, also do=30 cmd_o = 30\ \text{cm}, di=15 cmd_i = 15\ \text{cm} und ho=5 cmh_o = 5\ \text{cm}. Der Maßstab ist:

m=−dido=−1530=−0,5\begin{aligned} m &= -\frac{d_i}{d_o} \\ &= -\frac{15}{30} \\ &= -0{,}5 \end{aligned}

Die Bildgröße ist dann:

hi=m ho=(−0,5)(5 cm)=−2,5 cmh_i = m\,h_o = (-0{,}5)(5\ \text{cm}) = -2{,}5\ \text{cm}

Der Betrag 0,5 bedeutet, dass das Bild halb so groß ist wie der Gegenstand, und das Minuszeichen bedeutet, dass es umgekehrt ist — genau das geschieht, wenn eine Kamera eine Szene auf ihren Sensor abbildet.

Linsen und Spiegel

Der Abbildungsmaßstab hat für eine dünne Linse und einen sphärischen Spiegel dieselbe Form, sofern man die jeweilige Vorzeichenkonvention für die Bildweite verwendet. Kennt man nur Brennweite und Gegenstandsweite, bestimmt man zuerst die Bildweite aus der Linsengleichung 1f=1do+1di\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} (Linse) oder der gleich gebauten Spiegelgleichung und liest dann hier den Maßstab ab.

Grenzen

Die Beziehung m=−didom = -\frac{d_i}{d_o} setzt paraxiale Strahlen voraus — solche, die nahe der optischen Achse bleiben und kleine Winkel mit ihr bilden — sowie eine Linse, die dünn genug ist, dass ihre Dicke vernachlässigt werden kann. Reale optische Systeme weisen Aberrationen auf, die Größe und Form des Bildes abseits der Achse verzerren, sodass diese Effekte für präzise Auslegungen gesondert modelliert werden müssen. Für Alltagsschätzungen ist die einfache Maßstabsformel genau und schnell.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für den Abbildungsmaßstab?

Der Abbildungsmaßstab einer dünnen Linse oder eines Spiegels ist m = −dᵢ/dₒ, das Verhältnis von Bildweite zu Gegenstandsweite mit vorangestelltem Minuszeichen. Er entspricht auch dem Verhältnis der Höhen, m = hᵢ/hₒ, sodass die Bildgröße aus hᵢ = m·hₒ folgt. Der Betrag gibt an, um wie viel größer oder kleiner das Bild ist, das Vorzeichen die Orientierung.

Welche Vorzeichenkonvention wird verwendet?

Gegenstandsweite und Gegenstandsgröße werden als positiv angesetzt. Eine positive Bildweite bedeutet ein reelles Bild — bei einer Linse auf der anderen Seite, bei einem Spiegel davor — und ergibt einen negativen Maßstab, das Bild ist also umgekehrt.

Eine negative Bildweite bedeutet ein virtuelles Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand und ergibt einen positiven Maßstab, das Bild ist also aufrecht. Eine negative Bildgröße bedeutet ebenfalls ein umgekehrtes Bild.

Wie ermittle ich die Bildgröße?

Multipliziere die Gegenstandsgröße mit dem Abbildungsmaßstab: hᵢ = m·hₒ. Ein 5 cm hoher Gegenstand mit einem Maßstab von −0,5 erzeugt zum Beispiel ein 2,5 cm hohes, umgekehrtes Bild, weil der Maßstab negativ ist. Der Betrag der Bildgröße ist die physikalische Größe, das Vorzeichen die Orientierung.

Gilt dieselbe Formel für Linsen und Spiegel?

Ja. Der Abbildungsmaßstab m = −dᵢ/dₒ hat für eine dünne Linse und einen sphärischen Spiegel dieselbe Form, solange man die jeweilige Vorzeichenkonvention für die Bildweite verwendet. Bei einer Linse entsteht ein reelles Bild auf der anderen Seite, bei einem Spiegel vor der reflektierenden Fläche. In beiden Fällen ergibt eine positive Bildweite ein reelles, umgekehrtes Bild und eine negative ein virtuelles, aufrechtes Bild.

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