Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Volumenarbeit eines idealen Gases

Wenn ein Gas sich ausdehnt, drückt es gegen seine Umgebung — einen Kolben, die Atmosphäre, die Wand eines Ballons — und dieses Drücken über eine Strecke ist mechanische Arbeit. Die Höhe der Arbeit hängt nicht nur vom Anfangs- und Endvolumen ab, sondern auch vom Weg, den das Gas dazwischen nimmt. Dieser Rechner bestimmt die von einem idealen Gas verrichtete Arbeit für die beiden gebräuchlichsten quasistatischen Wege: einen isothermen Prozess bei konstanter Temperatur und einen isobaren Prozess bei konstantem Druck. Der Artikel folgt dem voreingestellten isothermen Modus; der isobare Modus verwendet die unten beschriebene Formel für konstanten Druck.

Woher die Formel stammt

Für jede langsame Volumenänderung ist die vom Gas verrichtete Arbeit die Fläche unter seiner Kurve im Druck-Volumen-Diagramm (pV-Diagramm):

Die Form dieser Kurve — und damit die Fläche — hängt davon ab, was festgehalten wird.

Isothermer Prozess. Bei konstanter Temperatur gilt für ein ideales Gas $PV = nRT$, der Druck sinkt also mit wachsendem Volumen: $P = nRT/V$. Einsetzen und Integrieren ergibt

Der natürliche Logarithmus erscheint, weil er das Integral von $1/V$ ist.

Isobarer Prozess. Bei konstantem Druck ist die Kurve eine waagerechte Linie, und die Fläche darunter ist ein einfaches Rechteck:

Formel

Die Gaskonstante ist $R = 8{,}314463\ \text{J/(mol·K)}$. Temperaturen gehen in Kelvin in das Verhältnis ein; mit Volumina in Kubikmetern und Druck in Pascal ergibt sich die Arbeit in Joule.

Rechenbeispiel

Ein Mol eines idealen Gases dehnt sich isotherm bei $T = 300\ \text{K}$ von $V_1 = 1\ \text{L}$ auf $V_2 = 2\ \text{L}$ aus:

Das Gas verrichtet etwa $1729\ \text{J}$ Arbeit an seiner Umgebung. Zum Vergleich: Hält man dasselbe Gas bei konstant $101{,}325\ \text{kPa}$ und lässt es sich um dieselben $1\ \text{L}$ ausdehnen (von 1 L auf 2 L), ergibt sich eine isobare Arbeit von $P\,\Delta V = 101{,}325 \times 0{,}001 = 101{,}3\ \text{J}$ — deutlich weniger, weil der isobare Weg über diese Ausdehnung bei einem niedrigeren mittleren Druck verläuft.

Vorzeichenkonvention

Das Ergebnis ist die vom Gas verrichtete Arbeit. Expansion ($V_2 > V_1$) ergibt einen positiven Wert, da das Gas Energie nach außen abgibt; Kompression ergibt einen negativen Wert. Manche Lehrbücher geben stattdessen die am Gas verrichtete Arbeit an, mit umgekehrtem Vorzeichen — der erste Hauptsatz lautet dann entweder $\Delta U = Q - W$ (Arbeit vom Gas) oder $\Delta U = Q + W$ (Arbeit am Gas). Es lohnt sich daher zu prüfen, welche Konvention eine Quelle verwendet.

Grenzen

Beide Formeln setzen ein ideales Gas in einem reversiblen, quasistatischen Prozess voraus — langsam genug, dass das Gas nahe am Gleichgewicht bleibt und durch einen einzigen Druck und eine einzige Temperatur beschrieben wird. Reale Gase weichen bei hohem Druck oder nahe der Kondensation von $PV = nRT$ ab, und rasche oder turbulente Änderungen sind nicht quasistatisch. Andere Wege wie der adiabatische (kein Wärmeaustausch) oder der isochore (konstantes Volumen, bei dem das Gas gar keine Arbeit verrichtet) folgen anderen Ausdrücken und liegen außerhalb dieser beiden Modi.