Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Die Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung ist die Aussage der Massenerhaltung für ein strömendes Fluid. In ihrer gebräuchlichsten Form besagt sie für eine stationäre, inkompressible Strömung durch ein Rohr oder einen Kanal, dass das pro Sekunde durch jeden Querschnitt strömende Fluidvolumen entlang der Strömung überall gleich ist. Diese eine Idee erklärt, warum Wasser schneller austritt, wenn man das Ende eines Gartenschlauchs zusammendrückt, und warum Flüsse durch enge Schluchten schnell fließen.

Die Gleichung

Für eine stationäre, inkompressible Strömung zwischen zwei Querschnitten eines Rohrs ist der Volumenstrom konstant:

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$

Dabei ist $A$ die Querschnittsfläche, $v$ die mittlere Geschwindigkeit über diesen Querschnitt und $Q$ der Volumenstrom. Nach der Geschwindigkeit stromabwärts aufgelöst ergibt sich die Form, die dieser Rechner verwendet:

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

und der Volumenstrom ist einfach

$Q = A_1 v_1$

Da sich das Fluid nicht anstauen oder verschwinden kann, erzwingt eine kleinere Fläche eine proportional größere Geschwindigkeit.

Symboltabelle

Rechenbeispiel

Warum Fläche und Geschwindigkeit gegeneinander abwägen

Da der Volumenstrom $Q = A v$ fest ist, verhalten sich Fläche und Geschwindigkeit entlang eines Rohrs umgekehrt zueinander. Halbiert man die Fläche, verdoppelt sich die Geschwindigkeit; vervierfacht man sie, sinkt die Geschwindigkeit auf ein Viertel. Bei einem runden Rohr ist diese Kopplung in Bezug auf den Durchmesser noch stärker: Da die Fläche mit dem Quadrat des Durchmessers skaliert ($A = \pi d^2/4$), viertelt eine Halbierung des Durchmessers die Fläche und vervierfacht so die Geschwindigkeit, was die Abkürzung $v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2$ liefert.

Von der Kontinuität zu Bernoulli

Die Kontinuität liefert die Geschwindigkeit an jedem Querschnitt allein aus der Geometrie, sagt aber nichts über den Druck. Hier übernimmt die Bernoulli-Gleichung: Sobald die Kontinuität die Geschwindigkeitsänderung festgelegt hat, verknüpft Bernoulli sie mit einer Druckänderung. In einer Verengung zwingt die Kontinuität das Fluid zur Beschleunigung, und Bernoulli sagt dann einen Abfall des statischen Drucks vorher. Diese Kombination ist die Grundlage des Venturi-Effekts und von Venturi- und Blenden-Durchflussmessern, die den Volumenstrom aus einem gemessenen Druckabfall bestimmen.

Kompressible Strömung

Die einfache Form $A_1 v_1 = A_2 v_2$ gilt nur bei konstanter Dichte. Für ein Gas, das schnell genug strömt, dass sich seine Dichte merklich ändert — etwa oberhalb von Mach 0,3 — ist die Erhaltungsgröße der Massenstrom statt des Volumenstroms:

$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$

In diesem Bereich kann sich die Beziehung zwischen Fläche und Geschwindigkeit sogar umkehren, weshalb sich eine Überschalldüse zur Beschleunigung der Strömung erweitert statt zu verengen. Für die alltäglichen Flüssigkeiten und langsamen Gase, auf die dieser Rechner ausgelegt ist, ist die inkompressible Form jedoch eine ausgezeichnete Näherung.