Zuletzt aktualisiert: 2026-07-13

Das newtonsche Abkühlungsgesetz

Das newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt, wie ein warmer Körper Wärme an eine kühlere Umgebung verliert – oder ein kalter Körper Wärme aus einer wärmeren aufnimmt. Der Kerngedanke ist einfach: Die Geschwindigkeit der Abkühlung hängt davon ab, wie weit die Temperatur des Körpers von der Temperatur ringsum entfernt ist. Eine sehr heiße Tasse Kaffee kühlt schnell ab; dieselbe Tasse kühlt viel langsamer, sobald sie nur noch wenig über Zimmertemperatur liegt. Als Ratengleichung geschrieben,

ist der Temperaturunterschied $(T - T_{env})$ der Motor des Vorgangs und $k$ die Abkühlkonstante. Das Lösen dieser Gleichung liefert die Exponentialkurve, die dieser Rechner verwendet:

Geben Sie die Anfangstemperatur $T_0$, die Umgebungstemperatur $T_{env}$ und die Abkühlkonstante $k$ ein, und der Rechner liefert die Temperatur nach einer gewählten Zeit, die Zeit bis zu einer Zieltemperatur oder $k$ selbst, angepasst aus einer einzelnen Messung.

Wie das Modell funktioniert

Was tatsächlich abklingt, ist nicht die Temperatur, sondern der Temperaturunterschied $\Delta T = T - T_{env}$. Setzt man ihn in die Ratengleichung ein, ergibt sich $d(\Delta T)/dt = -k\,\Delta T$, dieselbe Form wie beim radioaktiven Zerfall oder einem sich entladenden Kondensator. Der Abstand schrumpft daher in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Bruchteil:

Addiert man die Umgebungstemperatur wieder hinzu, erhält man $T(t)$. Weil nur der Abstand abklingt, nähert sich der Körper stets $T_{env}$ und überschreitet ihn nie: Kaffee bleibt knapp über Zimmertemperatur, und ein gekühltes Getränk erwärmt sich bis dahin, aber nicht weiter.

Zwei Zeitskalen fassen die Kurve zusammen. Die Zeitkonstante $\tau = 1/k$ ist die Zeit, in der der Abstand auf etwa 37 % ($1/e$) seines Ausgangswerts fällt; nach rund $5\tau$ liegt der Körper innerhalb von 1 % der Umgebung und wirkt praktisch ausgeglichen. Die Halbwertszeit $t_{1/2} = \ln 2 / k$ ist die Zeit, in der sich der Abstand halbiert, und sie ist an jedem Punkt der Kurve gleich.

Formel

Die Ziel- und die gemessene Temperatur müssen zwischen $T_{env}$ und $T_0$ liegen, da sich die Kurve stets nur von $T_0$ auf $T_{env}$ zubewegt.

Rechenbeispiel

Eine Tasse Kaffee wird mit $T_0 = 90\,^{\circ}\text{C}$ in einen Raum mit $T_{env} = 20\,^{\circ}\text{C}$ gestellt, mit einer Abkühlkonstante $k = 0{,}05\ \text{min}^{-1}$. Welche Temperatur hat sie nach $t = 10$ Minuten?

Schritt 1 – Anfänglicher Temperaturunterschied:

Schritt 2 – Abklingfaktor:

Schritt 3 – Temperatur nach 10 Minuten:

Nach zehn Minuten ist der Kaffee von 90 °C auf etwa 62,5 °C gefallen. Seine Zeitkonstante beträgt $\tau = 1/0{,}05 = 20$ Minuten und seine Halbwertszeit $\ln 2 / 0{,}05 \approx 13{,}9$ Minuten – alle 14 Minuten halbiert sich also der verbleibende Abstand zur Zimmertemperatur.

Die Abkühlkonstante aus einer Messung bestimmen

Die Abkühlkonstante ist eine Eigenschaft des Körpers und seiner Umgebung – Oberfläche, Material und wie frei die Luft daran vorbeiströmt – und wird fast immer gemessen statt nachgeschlagen. Nehmen Sie einen zusätzlichen Temperaturwert zu einer bekannten Zeit und stellen Sie das Gesetz um:

Zeigt der Kaffee von oben nach 10 Minuten $T_m = 60\,^{\circ}\text{C}$, so gilt

Ist $k$ einmal bekannt, folgt die gesamte weitere Kurve – und die Zeit bis zu jeder trinkbaren Zieltemperatur.

Wie sich der Abstand über die Zeit schließt

Praxisbezug

Das Gesetz ist das alltägliche Arbeitspferd für Abkühlschätzungen. Es bestimmt, wie lange eine heiße Speise vor dem Servieren ruhen muss, leitet die Kühlpläne, die Lebensmittel beim Durchlaufen des kritischen Temperaturbereichs sicher halten, und taucht in der Forensik auf, wo der Abfall der Körpertemperatur nach dem Tod eine grobe Schätzung der verstrichenen Zeit liefert. Ingenieure nutzen dieselbe Exponentialfunktion, um die Einschwingzeit von Elektronik auszulegen und zu prüfen, ob ein Bauteil innerhalb eines geforderten Fensters eine sichere Temperatur erreicht.

Grenzen

Das newtonsche Gesetz ist eine Näherung, die am besten gilt, wenn Wärme vor allem durch Konvektion in ein großes, stabiles Reservoir abfließt und der Temperaturunterschied moderat ist. Ist ein Körper sehr heiß, übernimmt die Strahlung, und der Wärmeverlust folgt dem Stefan-Boltzmann-Gesetz mit der vierten Potenz statt einem linearen Verlauf, sodass die Abkühlung schneller ist, als eine einzige Konstante vorhersagt. Das Modell setzt außerdem voraus, dass der Körper eine einheitliche Temperatur hat und sich die Umgebung nicht erwärmt; ein dicker Braten mit kaltem Kern oder eine kleine geschlossene Box, die sich um den Körper herum aufheizt, weichen beide von der einfachen Kurve ab.