Dernière mise à jour : 2026-07-01

Définition

Le théorème du binôme développe une puissance d'une somme de deux termes en une somme de termes :

Chaque terme associe un coefficient binomial $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ à $a$ élevé à $(n-k)$ et $b$ élevé à $k$. Lorsque $k$ varie de $0$ à $n$, la puissance de $a$ décroît de $n$ à $0$ tandis que celle de $b$ croît de $0$ à $n$, de sorte que les deux exposants ont toujours pour somme $n$.

Terme général

Le terme d'indice $k$ (compté à partir de $0$) est :

C'est ce que calcule le champ de l'indice du terme. Avec $k = 0$ on obtient le terme de tête $a^n$ ; avec $k = n$, le terme de queue $b^n$. Lire un seul terme est pratique lorsqu'on n'a besoin que d'un coefficient précis ou du terme portant une puissance donnée, sans écrire tout le développement.

Exemple résolu

Prenons $(2 + 3)^4$ et lisons le terme à $k = 2$. D'abord le coefficient :

Puis le terme complet $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$ :

Le développement complet est $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$, ce qui coïncide avec $5^4$ à titre de vérification.

Coefficients et triangle de Pascal

Les coefficients $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ forment la ligne $n$ du triangle de Pascal, le sommet comptant comme ligne $0$. Ils vérifient la récurrence :

chaque entrée est donc la somme des deux situées juste au-dessus. Pour $(a + b)^3$ la ligne est $1, 3, 3, 1$ ; pour $(a + b)^4$ elle est $1, 4, 6, 4, 1$. Le graphique des coefficients ci-dessus trace directement cette ligne.

Symétrie

Les coefficients binomiaux sont symétriques :

une ligne se lit donc de la même façon dans les deux sens. Cela traduit le fait que choisir quels $k$ facteurs fournissent un $b$ revient à choisir quels $n-k$ facteurs fournissent un $a$.

Somme des coefficients

En posant $a = b = 1$, le théorème se ramène à une identité compacte :

Les coefficients d'une ligne se somment donc en une puissance de deux : la ligne de $n = 3$ donne $8$, celle de $n = 6$ donne $64$. Avec $a = 1, b = -1$ on obtient la somme alternée, égale à $0$ pour tout $n \geq 1$.

Applications courantes

• Algèbre : développement de polynômes et simplification d'expressions élevées à une puissance.
• Probabilité : les coefficients portent la loi binomiale, où $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ est la probabilité de $k$ succès en $n$ essais.
• Approximation : pour $x$ petit, garder les deux premiers termes de $(1 + x)^n$ donne l'estimation $1 + nx$.
• Combinatoire : des identités comme la somme de ligne $2^n$ et la somme alternée $0$ découlent directement du théorème.

Notes pratiques

Exposant entier requis. La forme ci-dessus suppose que $n$ est un entier. Les exposants fractionnaires ou négatifs relèvent de la série binomiale généralisée, une somme infinie qui constitue un autre sujet.

Termes de tête et de queue. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, donc le premier et le dernier coefficient de tout développement valent $1$.

Pour les coefficients seuls — les valeurs « $k$ parmi $n$ » sans les puissances de $a$ et $b$ — on utilise le Calculatrice de combinaisons — C(n, r).