Dernière mise à jour : 2026-06-23

Test du khi-deux d'ajustement

Le test du khi-deux d'ajustement répond à une seule question : un ensemble d'effectifs observés par catégorie correspond-il aux effectifs prédits par une hypothèse ? C'est l'outil de référence pour comparer un unique échantillon catégoriel à une distribution théorique — vérifier qu'un dé est équilibré, qu'un croisement génétique respecte un ratio 9:3:3:1, ou que les couleurs d'un sachet de bonbons apparaissent dans les proportions annoncées. On saisit les effectifs réellement constatés dans chaque catégorie et les effectifs attendus sous l'hypothèse nulle, et le test renvoie une statistique, son nombre de degrés de liberté et une valeur p.

La statistique

Le test résume l'écart entre l'observation et l'attente au moyen de la statistique de Pearson

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

où $O_i$ est l'effectif observé dans la catégorie $i$, $E_i$ l'effectif attendu, et $k$ le nombre de catégories. Chaque terme mesure de combien une catégorie s'est éloignée de sa prédiction. L'écart est élevé au carré afin que les excédents et les déficits comptent tous deux comme un indice contre l'hypothèse au lieu de s'annuler, et afin que les écarts absolus plus grands pèsent davantage. La division par $E_i$ normalise chaque écart au carré : manquer de dix unités est une divergence sérieuse lorsque cinq seulement étaient attendues, mais négligeable lorsque cinq mille l'étaient, et diviser par l'effectif attendu place toutes les catégories sur une échelle comparable. La somme sur les catégories donne un nombre unique qui croît à mesure que les données s'éloignent de l'hypothèse. Lorsque les effectifs observés sont exactement égaux aux effectifs attendus, chaque terme est nul et $\chi^2 = 0$.

Degrés de liberté et valeur p

La statistique est comparée à une distribution du khi-deux dont la forme est fixée par son nombre de degrés de liberté. Pour un test d'ajustement simple,

$\text{df} = k - 1$

Un degré de liberté est consommé parce que les effectifs par catégorie doivent avoir une somme connue : une fois fixés les k − 1 premiers effectifs, le dernier est déterminé, et seuls k − 1 d'entre eux sont donc libres de varier. (Si la distribution attendue est elle-même estimée à partir des données à l'aide de paramètres supplémentaires, on retranche un degré de liberté de plus par paramètre estimé.)

La valeur p est la probabilité dans la queue supérieure — la probabilité d'observer une statistique au moins aussi grande que celle constatée si l'hypothèse nulle était vraie. L'ajustement est par nature un test unilatéral, dans la queue supérieure : seules de grandes valeurs de $\chi^2$ signalent un mauvais ajustement, tandis que de petites valeurs indiquent que les données restent proches de la prédiction. On compare la valeur p à un seuil de signification $\alpha$ (souvent cinq pour cent). Lorsque $p < \alpha$, l'écart est plus grand que ce que le bruit d'échantillonnage explique aisément, et l'on rejette l'hypothèse selon laquelle les données suivent la distribution attendue. Lorsque $p \ge \alpha$, les données sont compatibles avec l'hypothèse — ce qui n'équivaut pas à en prouver la véracité.

Exemple résolu

Supposons qu'un magasin attende de ses trois caisses qu'elles traitent le flux selon une répartition 40:40:20 sur 100 clients, et qu'un après-midi il enregistre 50, 30 et 20 clients. Les effectifs attendus sont 40, 40 et 20. Alors

Avec trois catégories, le test a deux degrés de liberté. La valeur p dans la queue supérieure pour $\chi^2 = 5$ à deux degrés de liberté vaut environ $0.082 \approx p$. Puisque $p \gt 0.05$, la répartition observée est compatible avec la distribution 40:40:20 attendue au seuil de 5 % : le déséquilibre apparent entre les deux premières caisses relève de la variation d'échantillonnage ordinaire.

Hypothèses

L'approximation du khi-deux repose sur quelques conditions. Les effectifs attendus doivent être raisonnablement grands — une règle générale courante exige que chaque effectif attendu soit au moins égal à 5 ; lorsque plusieurs sont plus petits, regroupez les catégories peu fournies ou utilisez plutôt un test exact. Les observations doivent être indépendantes, chaque unité relevant d'une seule catégorie. Et le test s'applique à des fréquences brutes, non à des pourcentages ou des proportions : si une hypothèse est exprimée en proportions, multipliez chacune par la taille totale de l'échantillon pour obtenir les effectifs attendus avant de lancer le test, et vérifiez que la somme des effectifs attendus est égale au total des effectifs observés.

Pour comparer les moyennes de deux groupes plutôt que des fréquences catégorielles, voir le Calculateur de test t à deux échantillons (Welch) ; pour transformer une statistique z en probabilité de queue, voir Calculateur de p-valeur à partir du score z.