Calculatrice de covariance

Valeurs de X	1, 2, 3, 4, 5
Valeurs de Y	2, 4, 5, 4, 5

Valeurs de X

1, 2, 3, 4, 5

Valeurs de Y

2, 4, 5, 4, 5

Résultats

Covariance d’échantillon	1,5
$\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}$
Covariance de population	1,2
$\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}$
Moyenne de X	3
Moyenne de Y	4
Effectif	5

Covariance d’échantillon

1,5

\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}

Covariance de population

1,2

\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}

Moyenne de X

Moyenne de Y

Effectif

Dernière mise à jour : 2026-07-02

Ce que mesure la covariance

La covariance mesure la façon dont deux variables évoluent ensemble. Si les valeurs élevées d’une variable tendent à accompagner les valeurs élevées de l’autre, la covariance est positive ; si les valeurs élevées de l’une accompagnent les valeurs faibles de l’autre, elle est négative. Une covariance proche de zéro indique une faible relation linéaire.

Pour des observations appariées (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), la covariance se construit à partir des produits des écarts appariés : l’écart de chaque valeur x à la moyenne de X multiplié par l’écart de la valeur y correspondante à la moyenne de Y :

Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)

Diviser cette somme par n donne la covariance de population ; la diviser par n − 1 donne la covariance d’échantillon.

Covariance de population et d’échantillon

Il existe deux formules qui ne diffèrent que par le dénominateur :

Covariance de population : σxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / n
Covariance d’échantillon : sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / (n − 1)

Utilisez la forme de population lorsque vos données couvrent chaque membre du groupe étudié. Utilisez la forme d’échantillon — celle utilisée par défaut par la plupart des logiciels statistiques — lorsque les données sont un échantillon tiré d’une population plus large. Le diviseur n − 1, appelé correction de Bessel, compense la légère sous-estimation qui apparaît parce que les moyennes x̄ et ȳ sont estimées à partir du même échantillon.

Exemple résolu

Supposons qu’une petite étude enregistre les heures d’étude (X) et les notes à un contrôle (Y) de cinq élèves :

X = 1, 2, 3, 4, 5
Y = 2, 4, 5, 4, 5

Étape 1 — moyennes. x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 et ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.

Étape 2 — produits des écarts. Calculez chaque (xi − x̄)(yi − ȳ) :

(1 − 3)(2 − 4) = (−2)(−2) = 4
(2 − 3)(4 − 4) = (−1)(0) = 0
(3 − 3)(5 − 4) = (0)(1) = 0
(4 − 3)(4 − 4) = (1)(0) = 0
(5 − 3)(5 − 4) = (2)(1) = 2

Étape 3 — somme. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.

Étape 4 — division. Covariance de population = 6 / 5 = 1,2. Covariance d’échantillon = 6 / (5 − 1) = 6 / 4 = 1,5.

Le résultat positif confirme que, dans ces données, les heures d’étude et les notes tendent à augmenter ensemble.

Lien entre covariance et corrélation

La covariance indique le sens d’une relation linéaire, mais pas sa force de manière comparable, car sa taille dépend des unités et de l’échelle des données. Le coefficient de corrélation corrige cela en divisant la covariance par le produit des deux écarts-types, ramenant le résultat entre −1 et +1.

En bref : la covariance est la mesure non normalisée, et la corrélation est sa contrepartie standardisée et sans unité. Pour juger de l’étroitesse du lien entre deux variables, calculez le coefficient de corrélation ; pour la mesure brute — par exemple pour construire une matrice de covariance —, utilisez directement la covariance.

Interpréter le signe et la grandeur

Le signe de la covariance a un sens en lui-même :

Positif : les variables tendent à évoluer dans le même sens.
Négatif : les variables tendent à évoluer en sens opposés.
Proche de zéro : faible relation linéaire.

La grandeur, en revanche, n’est pas directement interprétable, car elle porte le produit des unités des deux variables. Une covariance mesurée en kilogrammes-centimètres ne peut pas être comparée à une covariance mesurée en euros par an. Pour comparer des forces entre jeux de données, convertissez toujours en coefficient de corrélation.

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Calculateur de statistiques descriptives — statistiques descriptives complètes d’un jeu de données

Questions fréquentes (FAQ)

Quelle est la différence entre la covariance d’échantillon et celle de population ?

Toutes deux mesurent comment deux variables évoluent ensemble, mais elles diffèrent par le dénominateur. La covariance de population divise la somme des produits des écarts par n, en traitant les données comme la population complète. La covariance d’échantillon divise plutôt par n − 1 — la correction de Bessel —, qui compense le fait qu’un échantillon tend à sous-estimer la dispersion réelle lorsque les moyennes sont estimées à partir des mêmes données.

N’utilisez la forme de population que si les données couvrent chaque membre du groupe étudié. En pratique, les données sont le plus souvent un échantillon tiré d’une population plus large, si bien que la covariance d’échantillon (÷ n − 1) est le bon choix, et c’est la valeur que la plupart des logiciels statistiques renvoient par défaut.

Quel est le lien entre la covariance et le coefficient de corrélation ?

Le coefficient de corrélation est une covariance standardisée. Il divise la covariance par le produit des deux écarts-types, ce qui ramène le résultat entre −1 et +1. La corrélation devient ainsi comparable entre des jeux de données d’unités et de dispersions différentes, ce que la covariance ne permet pas.

De ce fait, la covariance indique le sens de la relation (positif, négatif ou nul) mais pas sa force au sens absolu : une covariance élevée peut simplement traduire de grandes unités. Si vous voulez une mesure sans unité de l’étroitesse du lien entre deux variables, calculez plutôt le coefficient de corrélation.

Que signifie le signe de la covariance ?

Une covariance positive signifie que les deux variables tendent à évoluer dans le même sens : lorsque X est au-dessus de sa moyenne, Y tend aussi à être au-dessus de la sienne. Une covariance négative signifie qu’elles évoluent en sens opposés — X au-dessus de sa moyenne s’associe à Y en dessous de la sienne. Une covariance proche de zéro indique une faible relation linéaire.

La grandeur, en revanche, n’est pas interprétable à elle seule, car elle dépend des unités et de l’échelle des données. Pour juger de la force de la relation, regardez le coefficient de corrélation plutôt que la valeur brute de la covariance.

Quelles sont les unités de la covariance ?

La covariance porte le produit des unités des deux variables. Si X est mesuré en kilogrammes et Y en centimètres, la covariance s’exprime en kilogrammes-centimètres. C’est pourquoi le nombre brut est difficile à interpréter et ne peut être comparé directement entre différents couples de variables.

Le coefficient de corrélation résout ce problème en éliminant les unités, produisant un nombre sans dimension entre −1 et +1. Lorsque vous avez besoin d’une valeur comparable ou interprétable comme une force, utilisez la corrélation ; utilisez la covariance lorsque vous avez spécifiquement besoin de la mesure non normalisée, par exemple comme élément d’une matrice de covariance.

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