Dernière mise à jour : 2026-05-26

Définition et périmètre

La dérivée d'un polynôme en un point mesure le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Cet outil calcule, pour un polynôme P saisi sous forme de coefficients et un réel x₀ donné : la valeur P(x₀), la dérivée P′(x₀), les coefficients du polynôme dérivé P′, ainsi que l'équation de la tangente à la courbe en ce point — le tout accompagné d'un graphique interactif.

Périmètre : les entrées sont limitées aux polynômes exprimés par leur liste de coefficients. La dérivation symbolique de fonctions quelconques (sinus, exponentielle, logarithme, etc.) n'est pas prise en charge.

Règle de la puissance

La règle fondamentale est simple : pour tout réel a et tout entier n ≥ 1,

$\frac{d}{dx}[a\,x^n] = n \cdot a\,x^{n-1}$

Un terme constant (n = 0) a une dérivée nulle. Appliquée terme à terme à un polynôme de degré n,

$P(x) = a_n\,x^n + a_{n-1}\,x^{n-1} + \cdots + a_1\,x + a_0$

$P'(x) = n\,a_n\,x^{n-1} + (n-1)\,a_{n-1}\,x^{n-2} + \cdots + a_1$

Le polynôme dérivé est donc de degré n − 1, et le terme constant disparaît.

Exemple de calcul

Soit P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5, évalué en x₀ = 2 (coefficients : 1, -3, 2, 5).

Étape 1 — Calcul de P(2) par la méthode de Horner :

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

Étape 2 — Dérivation terme à terme :

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Étape 3 — Évaluation de P′(2) :

$P'(2) = 3 \times 4 - 6 \times 2 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

Étape 4 — Équation de la tangente :

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

La tangente touche la courbe au point (2, 5) avec une pente égale à 2.

Interprétation géométrique

La dérivée P′(x₀) est la pente de la tangente à la courbe au point (x₀, P(x₀)). Elle s'obtient comme limite du taux d'accroissement lorsque l'intervalle tend vers zéro :

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

La tangente constitue la meilleure approximation affine de la courbe au voisinage de x₀ : l'écart entre la courbe et la tangente est d'ordre (Δx)², négligeable pour des petits déplacements Δx. C'est le principe sur lequel reposent de nombreuses méthodes numériques et approximations locales en analyse.

Saisie des coefficients

Les coefficients sont saisis du degré le plus élevé au plus bas, séparés par des virgules. Les puissances absentes doivent être représentées par un coefficient nul.

Pour x⁴ − 1, les termes en x³, x² et x sont nuls : il faut saisir 1, 0, 0, 0, -1 et non 1, -1.

Réutilisation des coefficients de la dérivée

L'outil affiche également les coefficients de P′(x) dans le même format (degré décroissant). Pour P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 :

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{coefficients : } 3,\,-6,\,2$

Ces coefficients peuvent être copiés dans le champ d'entrée pour calculer P″(x) (dérivée seconde), ou transmis à la calculatrice Résolution d'équations du second degré pour résoudre P′(x) = 0 et trouver les points critiques de P.