Calculatrice — loi des cosinus

Dernière mise à jour : 2026-05-19

Loi des cosinus

La loi des cosinus relie les trois côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles. Pour un triangle de côtés a, b, c et d'angle C opposé au côté c, la formule est :

c² = a² + b² − 2ab cos(C)

Cette équation couvre deux problèmes classiques de résolution de triangles :

• SAS (Côté-Angle-Côté) : Deux côtés et l'angle compris entre eux sont connus. La loi des cosinus donne le troisième côté.

• SSS (Côté-Côté-Côté) : Les trois côtés sont connus. En réarrangeant la formule trois fois, on obtient les trois angles :

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Comment utiliser cette calculatrice

Mode SAS — sélectionner « SAS — Trouver le côté c », saisir les côtés a et b et l'angle C entre eux (en degrés). La calculatrice retourne le côté c.

Mode SSS — sélectionner « SSS — Trouver les angles », saisir les trois côtés a, b, c. La calculatrice retourne les trois angles A, B, C en degrés.

Exemple de calcul : SAS

Un géomètre mesure deux côtés d'une parcelle triangulaire — 83 m et 112 m — avec un angle de 54° entre eux. Quelle est la longueur du troisième côté ?

• a = 83, b = 112, C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0,5878
• c² ≈ 8 502
• c ≈ 92,2 m

Exemple de calcul : SSS

Un jardin triangulaire a des côtés de 5 m, 7 m et 6 m. Quels sont les angles aux sommets ?

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44,4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78,5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57,1°

Vérification : 44,4° + 78,5° + 57,1° = 180°. ✓

Pourquoi la formule fonctionne : lien avec le théorème de Pythagore

Le Calculatrice du théorème de Pythagore (c² = a² + b²) est un cas particulier de la loi des cosinus. Quand C = 90°, cos 90° = 0 et le terme 2ab cos C disparaît.

Pour les autres angles :

• C < 90° (angle aigu) : cos C > 0, le terme soustrait raccourcit c.
• C > 90° (angle obtus) : cos C < 0, le terme s'ajoute et c est plus long.

Cette intuition découle directement de la définition du produit scalaire, qui mesure la projection d'un vecteur sur un autre.

Loi des cosinus vs. loi des sinus

Données disponibles	Formule à utiliser
Deux côtés + angle compris (SAS)	Loi des cosinus
Les trois côtés (SSS)	Loi des cosinus
Deux angles + un côté (AAS / ASA)	Loi des sinus
Deux côtés + angle non compris (SSA)	Loi des sinus (attention au cas ambigu)

La loi des sinus est plus simple quand on dispose d'un couple côté-angle opposé. La loi des cosinus n'a pas de cas ambigu et est préférable pour SAS et SSS.

Inégalité triangulaire

Pour que trois longueurs forment un triangle, chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres. Si cette condition n'est pas respectée (ex. côtés 1, 2 et 10), l'argument de l'arccosinus sort de [−1, 1] et la calculatrice affiche une erreur. Vérification rapide : triez les côtés par ordre croissant et assurez-vous que la somme des deux plus courts dépasse le plus long.

Questions fréquentes (FAQ)

Quel est le lien entre la loi des cosinus et le théorème de Pythagore ?

La loi des cosinus c² = a² + b² − 2ab cos C généralise le théorème de Pythagore à tout triangle. Quand C = 90°, cos 90° = 0 et la formule se réduit à c² = a² + b². Pour un angle aigu (C < 90°), le terme 2ab cos C est positif et c est plus court ; pour un angle obtus (C > 90°), cos C est négatif et c est plus long.

Quand utiliser la loi des cosinus plutôt que la loi des sinus ?

Utilisez la loi des cosinus dans les cas SAS (deux côtés et l'angle compris) ou SSS (les trois côtés). La loi des sinus est plus simple quand vous avez déjà un couple côté-angle opposé, mais dans le cas SSA elle peut donner deux solutions (cas ambigu). La loi des cosinus fournit toujours une réponse unique.

Que puis-je calculer en mode SAS ?

Avec deux côtés et l'angle entre eux, vous obtenez le troisième côté : c = √(a² + b² − 2ab cos C). Exemple : a = 5, b = 7, C = 60° → c = √39 ≈ 6,245. Une fois les trois côtés connus, passez en mode SSS pour trouver les angles restants.

Que se passe-t-il si les trois côtés ne forment pas un triangle valide ?

L'inégalité triangulaire exige que chaque côté soit inférieur à la somme des deux autres. Si cette condition n'est pas satisfaite (ex. côtés 1, 2 et 10), l'argument de l'arccosinus sort de [−1, 1] et la calculatrice affiche une erreur. Vérification rapide : triez les côtés par ordre croissant et assurez-vous que la somme des deux plus courts dépasse le plus long.