Dernière mise à jour : 2026-05-18

Le triangle isocèle rectangle (45-45-90)

Un triangle isocèle rectangle possède deux angles de 45° et un angle droit de 90°. Ses deux côtés adjacents à l'angle droit — les cathètes — sont égaux, d'où le terme « isocèle ». Le rapport entre ses côtés est $1 : 1 : \sqrt{2}$, l'une des deux proportions remarquables à retenir en géométrie, avec $1 : \sqrt{3} : 2$ pour le triangle 30-60-90.

Lien avec le carré

Tracer la diagonale d'un carré de côté $l$ produit deux triangles isocèles rectangles congruents. Chaque côté égale le côté du carré et l'hypoténuse égale sa diagonale. C'est précisément pourquoi $\sqrt{2}$ surgit si souvent en géométrie : c'est le rapport diagonal/côté d'un carré.

Formules

Soit $l$ la longueur du côté.

Grandeur	Formule
Hypoténuse $c$	$l\sqrt{2}$
Aire $S$	$l^2 / 2$
Périmètre $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

Donnée connue	Côté $l$	Hypoténuse $c$	Aire $S$
Depuis côté $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
Depuis hyp. $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
Depuis aire $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

Exemple de calcul

Pour $l = 5$ :

$c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071, \quad S = \frac{25}{2} = 12{,}5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17{,}07$

Démonstration des formules

Hypoténuse : Théorème de Pythagore appliqué aux côtés égaux $l$ :

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

Aire : La base et la hauteur valent toutes deux $l$ (les côtés sont perpendiculaires) :

$S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2}$

Depuis l'hypoténuse : $l = c/\sqrt{2}$, donc $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

Depuis l'aire : $S = l^2/2$ donne $l = \sqrt{2S}$, puis $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Propriétés complémentaires

• C'est le seul triangle à la fois isocèle et rectangle.
• Rayon du cercle circonscrit : $R = c/2$ (l'angle droit est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $c$).
• Rayon du cercle inscrit : $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

Applications

Le triangle isocèle rectangle se rencontre dans de nombreux contextes pratiques. En charpenterie et en dessin technique, l'équerre à 45° matérialise précisément ce triangle. En trigonométrie, les valeurs exactes $\sin 45° = \cos 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\tan 45° = 1$ découlent directement du rapport $1 : 1 : \sqrt{2}$. Un carré de côté $l$ découpé selon sa diagonale produit deux triangles isocèles rectangles congruents, chacun ayant pour hypoténuse $l\sqrt{2}$.

Pour vérifier ou prolonger la relation de Pythagore, utilisez la Calculatrice du théorème de Pythagore. Pour le calcul de l'aire d'un triangle quelconque, consultez la Calculateur d'aire du triangle.

Questions fréquentes (FAQ)

Quels sont les rapports des côtés d'un triangle 45-45-90 ?

Un triangle 45-45-90 possède deux côtés égaux et une hypoténuse. Le rapport côté : côté : hypoténuse est 1 : 1 : √2. Si chaque côté vaut l, l'hypoténuse vaut l√2 ≈ 1,414l. Par exemple, avec l = 5, l'hypoténuse est 5√2 ≈ 7,071. Ce triangle apparaît naturellement quand on coupe un carré selon sa diagonale : chaque moitié est un triangle isocèle rectangle congruent.

Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle isocèle rectangle à partir des côtés ?

On applique le théorème de Pythagore : c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2. Pour l = 5 : c = 5√2 ≈ 7,071. L'aire est S = l²/2 (base et hauteur égales à l) et le périmètre est P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3,414l.

Comment retrouver les côtés d'un triangle isocèle rectangle connaissant l'hypoténuse ?

En isolant l dans l√2 = c, on obtient l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2. Pour c = 10 : l = 10 ÷ √2 ≈ 7,071. L'aire est S = c²/4 (car S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4) et le périmètre est P = c(1 + √2) ≈ 2,414c.