首頁 數學 多項式定積分計算機 多項式定積分計算機 輸入多項式係數（由最高次到常數項）與積分上下限，精確計算 ∫_a^b P(x) dx 的值及原函數。 列印 輸入 \int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a) P(x) a b 結果 定積分值 ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a) 的精確數值。 P(x) = 1, 0, 0a = 0b = 2 定積分值 \begin{aligned} \int_a^b P(x)\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= F(2) - F(0) \\ &= ? \end{aligned} 原函數 F(x) 多項式的原函數（積分常數 C 省略不顯示）。 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-26 定積分的定義 定積分衡量函數曲線與 x 軸之間，在閉區間 [a,b][a, b] 上的帶號面積： ∫abP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx 「帶號」意指曲線位於 x 軸以下的部分面積計為負值。若曲線在區間某段低於零，該部分將從總面積中扣除。最終結果是一個確定的數值，而非函數。 微積分基本定理 將定積分化為可操作計算的核心結論，是微積分基本定理： ∫abP(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a) 其中 F(x)F(x) 是 P(x)P(x) 的任意一個原函數，滿足 F′(x)=P(x)F'(x) = P(x)。 計算步驟如下： ① 求原函數 F(x)F(x)。 ② 分別將上限 bb 與下限 aa 代入 FF。 ③ 相減得結果。 這樣便不需要對無窮多個無窮小矩形求和，只需三個代數步驟。 多項式的冪次法則 對多項式的每一項，原函數由冪次法則給出： ∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1) 對多項式逐項套用此法則，即可精確求得整個多項式的原函數。 範例 — ∫02(3x2−1) dx\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx： 各項冪次法則原函數各項3x23x^23⋅x333 \cdot \dfrac{x^3}{3}x3x^3−1-1−1⋅x11-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}−x-x 因此 F(x)=x3−xF(x) = x^3 - x。 ∫02(3x2−1) dx=F(2)−F(0)=(8−2)−(0−0)=6\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6 係數輸入格式 係數須由最高次項到常數項依序輸入，以逗號分隔。 多項式係數輸入x2x^21, 0, 03x2−13x^2 - 13, 0, -12x3+x−52x^3 + x - 52, 0, 1, -5$7$（常數）7 輸入值的個數決定多項式的次數：四個值對應三次多項式。 帶號面積與上下限互換 定積分給出帶號面積，有兩個重要性質： 曲線位於 x 軸以下時： 面積貢獻為負值。例如 ∫01(−x) dx=−12\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}，儘管幾何上的區域面積為 12\dfrac{1}{2}。 當 a>ba > b 時： 積分值為從 bb 到 aa 積分的負數： ∫abP(x) dx=−∫baP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx 這並非錯誤，而是積分的基本性質。計算機能正確處理此情形：輸入 $a = 2,\ b = 0$ 所得結果，為 $a = 0,\ b = 2$ 時的負值。 積分常數 求不定積分時，原函數寫作 F(x)+CF(x) + C，其中 CC 為任意常數。計算定積分時，CC 會相消： [F(x)+C]ab=(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) 因此積分常數對定積分結果無影響，本計算機所顯示的原函數中省略不寫。CC 只在不定積分中才具有意義，此時原函數族寫作 F(x)+CF(x) + C。 適用範圍與數值積分方法 冪次法則僅適用於多項式（n≥0n \geq 0 的整數次冪 xnx^n）。對於其他類型的函數，需採用不同方法： 函數類型處理方式sinx\sin x、cosx\cos x、exe^x已知原函數（精確解）有理函數、代數函數部分分數分解、換元積分無封閉形式原函數辛普森法則、高斯求積法 若被積函數無法表示為多項式，本計算機不適用，應改用數值積分方法或電腦代數系統。 實際應用 定積分廣泛應用於自然科學與工程領域： 物理學： 由速度求位移（∫v dt\int v\,dt）、由力求功（∫F dx\int F\,dx）。 經濟學： 消費者剩餘（需求曲線與市場價格之間的面積）。 機率論： 連續隨機變數落在 [a,b][a, b] 區間的機率為 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx，其中 ff 為機率密度函數。 幾何學： 兩曲線之間的面積、旋轉體的體積。 常見問題（FAQ）這個計算機可以計算哪些函數的積分？本計算機僅支援多項式，即形如 P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ 的函數。對多項式逐項套用冪次法則，可得到精確的原函數，結果不含近似誤差。若需對非多項式函數（如 sin x、eˣ、ln x 等）求積分，則須採用數值積分方法，例如辛普森法則或高斯求積法。 下限大於上限（a > b）時，結果是否正確？計算機仍能給出正確的帶號面積。根據定積分的性質，∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx。因此當 a > b 時，結果為從 b 到 a 積分值的負數。這在數學上完全成立，在建立重積分或處理通量積分時尤為常見。 什麼是原函數？為什麼需要它來計算定積分？P(x) 的原函數 F(x) 是以 P(x) 為導函數的函數，即 F′(x) = P(x)。對單項式 aₙxⁿ 而言，冪次法則給出 aₙxⁿ⁺¹/(n+1)。對多項式積分時，逐項套用此法則後加總，即得整個多項式的原函數。微積分基本定理指出 ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a)，將積分問題化為單純的代入計算。 為什麼原函數中沒有顯示積分常數 C？計算定積分時，積分常數 C 會相消：將 [F(x) + C] 在 a 到 b 之間求值，得到 (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a)，常數 C 對結果不產生影響，因此慣例上省略不寫。積分常數只在不定積分中才具有意義，此時原函數族寫作 F(x) + C。 推薦的下一個 二次方程式求解器 求解 ax² + bx + c = 0。輸入三個係數，即可得到判別式及兩個根——實數根或複數根。 深入了解等差數列計算機 輸入首項、公差與項數，計算等差數列的第 n 項（aₙ）、前 n 項和（Sₙ）與平均值。公式推導一目瞭然。 深入了解二次方程式判別式計算機 計算判別式 D = b²−4ac。輸入係數 a、b、c，自動判斷根的性質：兩個相異實根、重根或兩個共軛複數根，並顯示 √|D|。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式定積分計算機 +3 more Show less 多項式導數計算機配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c） 其他數學計算機 平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機立體幾何 四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機信賴區間計算機描述統計計算機變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機機率 二項分布機率計算機常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 科學記數法轉換器最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機質因數分解計算機質數判斷器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-26 定積分的定義 定積分衡量函數曲線與 x 軸之間，在閉區間 [a,b][a, b] 上的帶號面積： ∫abP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx 「帶號」意指曲線位於 x 軸以下的部分面積計為負值。若曲線在區間某段低於零，該部分將從總面積中扣除。最終結果是一個確定的數值，而非函數。 微積分基本定理 將定積分化為可操作計算的核心結論，是微積分基本定理： ∫abP(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a) 其中 F(x)F(x) 是 P(x)P(x) 的任意一個原函數，滿足 F′(x)=P(x)F'(x) = P(x)。 計算步驟如下： ① 求原函數 F(x)F(x)。 ② 分別將上限 bb 與下限 aa 代入 FF。 ③ 相減得結果。 這樣便不需要對無窮多個無窮小矩形求和，只需三個代數步驟。 多項式的冪次法則 對多項式的每一項，原函數由冪次法則給出： ∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1) 對多項式逐項套用此法則，即可精確求得整個多項式的原函數。 範例 — ∫02(3x2−1) dx\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx： 各項冪次法則原函數各項3x23x^23⋅x333 \cdot \dfrac{x^3}{3}x3x^3−1-1−1⋅x11-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}−x-x 因此 F(x)=x3−xF(x) = x^3 - x。 ∫02(3x2−1) dx=F(2)−F(0)=(8−2)−(0−0)=6\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6 係數輸入格式 係數須由最高次項到常數項依序輸入，以逗號分隔。 多項式係數輸入x2x^21, 0, 03x2−13x^2 - 13, 0, -12x3+x−52x^3 + x - 52, 0, 1, -5$7$（常數）7 輸入值的個數決定多項式的次數：四個值對應三次多項式。 帶號面積與上下限互換 定積分給出帶號面積，有兩個重要性質： 曲線位於 x 軸以下時： 面積貢獻為負值。例如 ∫01(−x) dx=−12\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}，儘管幾何上的區域面積為 12\dfrac{1}{2}。 當 a>ba > b 時： 積分值為從 bb 到 aa 積分的負數： ∫abP(x) dx=−∫baP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx 這並非錯誤，而是積分的基本性質。計算機能正確處理此情形：輸入 $a = 2,\ b = 0$ 所得結果，為 $a = 0,\ b = 2$ 時的負值。 積分常數 求不定積分時，原函數寫作 F(x)+CF(x) + C，其中 CC 為任意常數。計算定積分時，CC 會相消： [F(x)+C]ab=(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) 因此積分常數對定積分結果無影響，本計算機所顯示的原函數中省略不寫。CC 只在不定積分中才具有意義，此時原函數族寫作 F(x)+CF(x) + C。 適用範圍與數值積分方法 冪次法則僅適用於多項式（n≥0n \geq 0 的整數次冪 xnx^n）。對於其他類型的函數，需採用不同方法： 函數類型處理方式sinx\sin x、cosx\cos x、exe^x已知原函數（精確解）有理函數、代數函數部分分數分解、換元積分無封閉形式原函數辛普森法則、高斯求積法 若被積函數無法表示為多項式，本計算機不適用，應改用數值積分方法或電腦代數系統。 實際應用 定積分廣泛應用於自然科學與工程領域： 物理學： 由速度求位移（∫v dt\int v\,dt）、由力求功（∫F dx\int F\,dx）。 經濟學： 消費者剩餘（需求曲線與市場價格之間的面積）。 機率論： 連續隨機變數落在 [a,b][a, b] 區間的機率為 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx，其中 ff 為機率密度函數。 幾何學： 兩曲線之間的面積、旋轉體的體積。 常見問題（FAQ）這個計算機可以計算哪些函數的積分？本計算機僅支援多項式，即形如 P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ 的函數。對多項式逐項套用冪次法則，可得到精確的原函數，結果不含近似誤差。若需對非多項式函數（如 sin x、eˣ、ln x 等）求積分，則須採用數值積分方法，例如辛普森法則或高斯求積法。 下限大於上限（a > b）時，結果是否正確？計算機仍能給出正確的帶號面積。根據定積分的性質，∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx。因此當 a > b 時，結果為從 b 到 a 積分值的負數。這在數學上完全成立，在建立重積分或處理通量積分時尤為常見。 什麼是原函數？為什麼需要它來計算定積分？P(x) 的原函數 F(x) 是以 P(x) 為導函數的函數，即 F′(x) = P(x)。對單項式 aₙxⁿ 而言，冪次法則給出 aₙxⁿ⁺¹/(n+1)。對多項式積分時，逐項套用此法則後加總，即得整個多項式的原函數。微積分基本定理指出 ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a)，將積分問題化為單純的代入計算。 為什麼原函數中沒有顯示積分常數 C？計算定積分時，積分常數 C 會相消：將 [F(x) + C] 在 a 到 b 之間求值，得到 (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a)，常數 C 對結果不產生影響，因此慣例上省略不寫。積分常數只在不定積分中才具有意義，此時原函數族寫作 F(x) + C。
