最後更新：2026-05-19

平均變化率

函數 f 在兩個 x 值之間的平均變化率，衡量的是輸出量隨輸入量每單位改變的平均幅度。給定兩點 (x₁, f(x₁)) 和 (x₂, f(x₂))，公式為：

$\text{平均變化率} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$

幾何上，這正是通過曲線上兩點的割線斜率。直線的斜率處處相同，但曲線的平均變化率會隨所選區間而異——在較陡的區段計算出較大的值，在較平緩的區段則較小。

逐步例題

設一顆球以拋物線運動，其高度（單位：公尺）與時間 t 的關係為 h(t) = −5t² + 20t。求 t = 1 s 到 t = 3 s 之間的平均變化率。

第一步——分別代入兩端點：

$h(1) = -5(1)^2 + 20(1) = 15 \text{ m}$

$h(3) = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \text{ m}$

第二步——計算 Δh 與 Δt：

$\Delta h = 15 - 15 = 0 \text{ m}, \quad \Delta t = 3 - 1 = 2 \text{ s}$

第三步——相除：

$\text{平均變化率} = \frac{0}{2} = 0 \text{ m/s}$

結果為零，代表球在這 2 秒內回到了出發時的高度——它先升後降，淨位移恰好抵消。t = 1 s 和 t = 3 s 的瞬時速度並不是零（球仍在移動），但「平均而言」，高度沒有淨變化。

割線與切線的比較

	割線	切線
通過	曲線上兩點	曲線上一點
斜率等於	平均變化率	瞬時變化率
計算方式	Δf / Δx	導數 f′(x)
需要微積分？	不需要	需要

平均變化率是微積分預備（高中數學）的核心概念，只需四則運算即可求得。切線斜率則是當兩端點趨近為同一點時，割線斜率的極限值：令 x₂ → x₁，割線逐漸旋轉，最終僅與曲線相切於一點。

公式的由來

這個公式直接來自斜率的定義：在坐標平面上任取兩點，連一條直線，其斜率就是（垂直變化量）/（水平變化量）= Δf / Δx。這是衡量函數「變化快慢」最直觀的方式，回答的問題是：如果只知道函數的起點值和終點值，要用什麼固定速率才能產生相同的淨變化？

與均值定理的關聯

均值定理（微分中值定理）保證：對任意在 [x₁, x₂] 上連續、在 (x₁, x₂) 上可微的函數，其平均變化率必定在區間內某點 c 被瞬時變化率精確達到：

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

這說明割線斜率不只是個近似值——在區間內部，必然存在一點使切線斜率與割線斜率完全吻合。實際的意義是：在任何一段旅程中，某一時刻的速度必然等於全程平均速度。均值定理是大學微積分的核心定理之一，也是高中數學的重要考點。

實際應用

• 物理——平均速度： 若物體的位置函數為 s(t)，則平均變化率 Δs / Δt 即為平均速度。物體在 t = 2 s 時位於 10 m，在 t = 6 s 時位於 34 m，平均速度為 (34 − 10) / (6 − 2) = 6 m/s。
• 經濟學——邊際分析： 收益對銷售量的平均變化率，近似每多賣一單位所增加的收益，是離散版的邊際收益概念。
• 生物——族群成長： 細菌數量從 500 增加到 1 400，歷時 3 小時，平均成長率為 (1400 − 500) / 3 = 300 個/小時。
• 財務——股價漲跌： 某股票從 280 元漲到 336 元，歷時 4 個月，平均每月漲幅為 (336 − 280) / 4 = 14 元/月。

常見問題（FAQ）

平均變化率和瞬時變化率有什麼差別？

平均變化率衡量函數在某個區間內的整體變化量，幾何上對應通過兩端點的割線斜率。瞬時變化率則是函數在某一點的切線斜率，等於令區間縮至零時割線斜率的極限值，也就是微積分中的導數。對直線而言，兩者恆相等；對曲線而言，除非區間縮為一點，兩者一般不同。

平均變化率和均值定理有什麼關係？

均值定理（微分中值定理）指出：若函數在閉區間 [x₁, x₂] 上連續、在開區間 (x₁, x₂) 上可微，則在該開區間內至少存在一點 c，使得瞬時變化率等於平均變化率：f′(c) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)。換句話說，計算機求出的割線斜率，必定在區間內某處被切線斜率精確地取到，而非僅是近似值。均值定理是微分學中的核心定理之一，是高中數學課程的重要考點。

物理中的平均速度和平均變化率有什麼關聯？

當位置是時間的函數 s(t) 時，位移對時間的平均變化率即為平均速度：v̄ = Δs / Δt。例如，某物體在 t = 1 s 時位於 3 m，在 t = 5 s 時位於 19 m，其平均速度為 (19 − 3) / (5 − 1) = 4 m/s。同樣的概念也適用於其他物理量：平均加速度 = Δv / Δt，平均電流 = ΔQ / Δt（電荷對時間），平均族群成長率 = ΔN / Δt。

平均變化率可以是負數嗎？

可以。平均變化率為負，表示函數在該區間內整體遞減，即 f(x₂) < f(x₁)。例如，汽車從 60 km/h 減速至 20 km/h，歷時 4 秒，速度的平均變化率為 (20 − 60) / 4 = −10 km/h/s。正值代表函數增加，負值代表函數減少，零值代表起點與終點相同（中途可能有起伏）。正負號是判斷函數整體趨勢的直觀指標。