最後更新：2026-06-04

定義

橢球（ellipsoid）是三維空間中的封閉曲面，其上每一點均滿足方程式：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

其中 $a$、$b$、$c$ 分別為沿三個座標軸方向的半軸長——即從中心到曲面的距離。當三條半軸相等（$a = b = c = r$）時，橢球退化為球體。

自然界與工程中常見的橢球形狀包括：地球（因自轉而形成的扁球體，$a \approx b > c$）、橄欖球與雞蛋（長球體，$a > b \approx c$）、細胞核，以及壓力容器的封頭設計。

體積公式

三軸橢球的體積公式為：

$V = \frac{4}{3}\pi abc$

推導

設橢球的三條半軸為 $a$、$b$、$c$。在高度 $z$ 處，橢球的水平截面為一橢圓，其兩條半軸分別為 $a\sqrt{1 - z^2/c^2}$ 與 $b\sqrt{1 - z^2/c^2}$，截面面積為：

$S(z) = \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right)$

對 $z$ 從 $-c$ 積分至 $c$：

$V = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \!\left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi ab \cdot \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc$

此結果是球體積公式 $V = (4/3)\pi r^3$ 的直接推廣——將半徑 $r$ 分別替換為三個方向各自的半軸長即可。值得注意的是，體積與三條半軸的乘積成正比：任意單條半軸加倍，體積隨之加倍；三條半軸同時加倍，體積變為 8 倍。

表面積與近似公式

為何沒有封閉形式精確公式

對球體而言，曲面上每一點的曲率均相同，表面積積分可化簡為 $4\pi r^2$。橢球的曲率因位置而連續變化，表面積的積分最終歸結為第一類與第二類不完全橢圓積分——一類無法用基本函數精確表達的超越函數。

旋轉橢球體（兩軸相等）是例外，可用初等函數精確計算：

• 扁球體（$a = b > c$）：$A = 2\pi a^2\!\left(1 + \frac{c^2}{a^2 e}\arcsin e\right)$，其中 $e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$
• 長球體（$a > b = c$）：$A = 2\pi c^2\!\left(1 + \frac{a}{ce}\operatorname{arcsinh} e\right)$，其中 $e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$

對一般三軸橢球（$a \neq b \neq c$），則需採用近似公式。

Knud Thomsen 近似公式

目前精度最高的簡易近似公式由 Knud Thomsen 於 2004 年提出：

$A \approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{1/p}, \quad p = 1.6075$

指數 p = 1.6075 為經驗最佳化所得，能使最壞情況的相對誤差最小化。對任意正半軸組合，最大相對誤差均低於 1.061%；當 $a = b = c$ 時，公式可代數化簡為精確值 $4\pi a^2$。

特殊情形

形狀	條件	體積	表面積（精確）
球體	$a = b = c$	$\dfrac{4}{3}\pi a^3$	$4\pi a^2$
扁球體	$a = b > c$	$\dfrac{4}{3}\pi a^2 c$	$2\pi a^2 + \dfrac{2\pi c^2}{e}\arcsin e$
長球體	$a > b = c$	$\dfrac{4}{3}\pi a c^2$	$2\pi c^2 + \dfrac{2\pi ac}{e}\operatorname{arcsinh} e$

計算範例

以一個橢球形魚缸為例，三條半軸分別為 $a = 40\text{ cm}$、$b = 25\text{ cm}$、$c = 20\text{ cm}$。

體積：

$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 0.40 \times 0.25 \times 0.20 = \frac{4}{3}\pi \times 0.020 \approx 0.08378 \text{ m}^3 \approx 83.8 \text{ 公升}$

表面積（Knud Thomsen，p = 1.6075）：

計算各軸的 $p$ 次方：$0.40^{1.6075} \approx 0.2358$，$0.25^{1.6075} \approx 0.1063$，$0.20^{1.6075} \approx 0.0760$

$\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3} = \frac{0.02507 + 0.01792 + 0.008079}{3} \approx 0.01702$

$A \approx 4\pi \times 0.01702^{1/1.6075} \approx 4\pi \times 0.1048 \approx 1.317 \text{ m}^2$

此數值可作為製作魚缸外殼所需材料面積的估算依據。

半軸與體積的比例關係

由 $V = (4/3)\pi abc$ 可知，體積與各半軸長均呈線性關係。以下整理常見的縮放情形：

變化方式	體積倍率
僅 a 加倍	×2
僅 b 加倍	×2
三軸同時加倍	×8
三軸同時變為三倍	×27

這一特性與球體不同——球體半徑加倍時體積變為 8 倍，因為三個方向均以同一比例放大；橢球則可獨立調整各方向的尺度。

常見問題（FAQ）

橢球體積的計算公式是什麼？

三軸橢球的體積公式為 V = (4/3)πabc，其中 a、b、c 分別為三條半軸長。以 a = 3 公分、b = 2 公分、c = 1 公分的橢球為例：V = (4/3) × π × 3 × 2 × 1 = 8π ≈ 25.13 cm³。當三條半軸相等（a = b = c = r）時，公式退化為球體積公式 V = (4/3)πr³。

為什麼橢球表面積只能用近似公式計算？

一般三軸橢球（a ≠ b ≠ c）的精確表面積需以第一類與第二類不完全橢圓積分表示，不存在初等封閉形式。實際應用中常採用 Knud Thomsen 近似公式：A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p)，其中 p = 1.6075。對任意正半軸組合，最大相對誤差均低於 1.061%。當 a = b = c 時（球體），公式可精確還原為 4πa²。

扁球體與長球體有什麼不同？

旋轉橢球體是兩條半軸相等的特殊橢球。扁球體（oblate spheroid，a = b > c）有兩條較長的等長半軸和一條較短半軸，形狀如壓扁的圓餅或地球（因自轉而略為扁平）。長球體（prolate spheroid，a > b = c）則有一條較長半軸和兩條較短等長半軸，形狀如橄欖球或雞蛋。這兩種特殊情形的表面積均可用初等函數精確表達，不需近似公式。

Knud Thomsen 近似公式的精確度如何？

採用指數 p = 1.6075 的 Knud Thomsen 公式，對任意正半軸組合的最大相對誤差均低於 1.061%。當 a = b = c（球體）時公式為精確值；誤差接近上限的情形僅出現在軸比極端懸殊時。對工程、設計與生物學等一般應用而言，誤差通常遠低於 0.5%。