最後更新：2026-06-04

整除性是數論的基礎概念：若整數 n 除以非零整數 d 後餘數為零，即稱 n 能被 d 整除——等價地，存在整數 k 使得 n = d × k。本工具對 2 至 11 的每個除數套用對應的整除規則，回報所輸入的整數是否滿足各條件。

各除數的整除規則

除以 2

末位數字為 0、2、4、6、8（偶數）時，該整數能被 2 整除。此規則成立的原因是 10 ≡ 0（mod 2），因此百位、千位等以上各位數字均貢獻 2 的倍數，只有個位數字決定奇偶性。

除以 3

將各位數字加總，若數字和能被 3 整除，原數亦然。以 12345 為例，數字和為 1＋2＋3＋4＋5＝15，15 ÷ 3＝5，故 12345 能被 3 整除。原理在於 10 ≡ 1（mod 3），因此每一位數字對整體餘數的貢獻等於其本身的面值。

除以 4

只需檢查末兩位數字。若末兩位組成的兩位數能被 4 整除，整個數亦然。以 12345 為例，末兩位為 45；45 ÷ 4＝11.25，故 12345 不能被 4 整除。此捷徑成立的原因是 100 = 4 × 25，百位及以上各位均是 4 的倍數，對餘數沒有貢獻。

除以 5

末位數字為 0 或 5 時，該整數能被 5 整除。理由與除以 2 相同：10 ≡ 0（mod 5），百位以上各位不影響除以 5 的餘數。

除以 6

整數能被 6 整除，若且唯若同時能被 2 和 3 整除。由於 6＝2×3 且 gcd(2, 3)＝1，這兩個條件彼此獨立，必須同時成立。

除以 7

7 沒有單步驟的數字捷徑，但可採用以下迭代方法：取末位數字乘以 2，從去掉末位後的餘數中減去此乘積，重複直到數字夠小。若最終結果為 0 或 7 的倍數，原數即能被 7 整除。以 343 為例：末位 3 乘以 2 得 6，34 減 6 等於 28；28 ÷ 7＝4，故 343 能被 7 整除。本工具直接計算模數，無需此迭代操作。

除以 8

只需檢查末三位數字。若末三位組成的三位數能被 8 整除，整個數亦然。原因是 1000＝8×125，千位及以上各位均是 8 的倍數。以 12345 為例，末三位為 345；345 ÷ 8＝43.125，故 12345 不能被 8 整除。

除以 9

與除以 3 的規則相同，但改為判斷數字和是否能被 9 整除。以 12345 為例，數字和＝15；15 ÷ 9＝1.67，故 12345 不能被 9 整除。原理亦相同：10 ≡ 1（mod 9）。

除以 10

末位數字為 0 時，該整數能被 10 整除。此規則是除以 2 和除以 5 兩個條件的組合。

除以 11

計算交替數字和：從最右位開始，依次對各位數字交替加減。若結果為 0 或 11 的倍數，原數即能被 11 整除。以 12345 為例，從右側起：5 − 4＋3 − 2＋1＝3；3 不能被 11 整除，故 12345 不能被 11 整除。原理在於 10 ≡ −1（mod 11），因此每一位數字對整體的貢獻交替為其面值的正值或負值。

計算範例

55440 能被 2 至 11 的哪些數整除？

• 除以 2： 末位 0，偶數 → 能整除
• 除以 3： 數字和 5＋5＋4＋4＋0＝18；18 ÷ 3＝6 → 能整除
• 除以 4： 末兩位 40；40 ÷ 4＝10 → 能整除
• 除以 5： 末位 0 → 能整除
• 除以 6： 能被 2 和 3 整除 → 能整除
• 除以 7： 55440 ÷ 7＝7920，整除 → 能整除
• 除以 8： 末三位 440；440 ÷ 8＝55 → 能整除
• 除以 9： 數字和 18；18 ÷ 9＝2 → 能整除
• 除以 10： 末位 0 → 能整除
• 除以 11： 交替數字和 0 − 4＋4 − 5＋5＝0 → 能整除

55440＝2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11，可被 2 至 11 的全部十個除數整除。

特殊情況：零

依標準定義，0 能被每個非零整數整除。對任意非零 d，取 k＝0，可使 0＝d×0 成立。本工具對 n＝0 的所有十個除數均回傳「能整除」。

精確度限制

本工具採用 64 位元浮點數運算，可精確表示絕對值不超過 2⁵³ ≈ 9×10¹⁵ 的整數。對絕對值超過 10¹⁵ 的整數，捨入誤差可能導致結果不正確。若需處理更大的整數整除問題，建議使用支援任意精確度整數運算的專用工具。

常見問題（FAQ）

為什麼 3 和 9 的整除性可以用數字和來判斷？

10 的任意次方除以 9 的餘數均為 1（對 3 亦然）：10 ≡ 1、100 ≡ 1、1000 ≡ 1……，均在模 9 意義下成立。這表示一個數除以 9 的餘數，等於其各位數字之和除以 9 的餘數。以 12345 為例，數字和為 1＋2＋3＋4＋5＝15，而 15 mod 9＝6，故 12345 不能被 9 整除。對模 3 的推論完全相同，因為 10 ≡ 1（mod 3）亦成立。

如何不做除法判斷一個數能否被 7 整除？

最常用的心算方法：取末位數字乘以 2，從去掉末位後剩餘的數中減去此乘積，再對結果重複同樣操作，直到數字夠小為止。若最終結果是 0 或 7 的倍數，原數即可被 7 整除。以 343 為例：末位 3 乘以 2 得 6，34 減去 6 得 28；28 ÷ 7＝4，故 343 能被 7 整除。本工具直接計算餘數，對大數而言比上述數字操作法更快。

0 能被所有整數整除嗎？

依標準定義，整數 a 能被非零整數 d 整除，是指存在整數 k 使得 a＝d×k。當 a＝0 時，取 k＝0 即可：對任意非零 d，0＝d×0 均成立。因此，0 確實能被每個非零整數整除。本工具對 n＝0 的所有十個除數均回傳「能整除」。

大於 11 的質數是否也有整除性規則？

有，但隨除數增大，規則逐漸變得繁瑣。以 13 為例：取末位數字乘以 4，加到去掉末位後的餘數，重複此步驟。以 17 為例：取末位乘以 5 後相減。以 19 為例：取末位乘以 2 後相加。這些規則的原理，來自 10 對該質數的乘法反元素——與 7 和 11 的規則同出一理。實際上，對超過 13 的質數，直接相除或使用計算工具往往比數字操作更為便捷。