最後更新：2026-05-19

中點的定義

中點是線段上與兩端點距離相等的點，其座標由兩端點對應座標的算術平均值決定。

中點公式

已知兩點 P₁(x₁, y₁) 與 P₂(x₂, y₂)，其中點 M 為：

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

中點的每一個座標，都是兩端點對應座標的算術平均值。

為何取平均值

中點定義為與兩端點距離相等的點。以 x 方向的等距條件來說：

$$M_x - x_1 = x_2 - M_x$$

整理後可得：

$$2M_x = x_1 + x_2 \quad\Rightarrow\quad M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

y 方向也獨立地成立相同推導。不需要三角函數，也不需要距離公式——僅憑中點的定義就能直接導出公式。

例題解析

求 P₁(3, −4) 與 P₂(9, 6) 之間的中點。

$$M_x = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$M_y = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

中點為 (6, 1)。可用距離公式驗算 P₁M = MP₂ 來確認結果正確。

中點與重心的區別

中點公式適用於線段（兩個端點）。重心則是多邊形的幾何中心。以頂點為 A、B、C 的三角形為例，重心 G 為：

$$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$

中點是重心的特殊情況：兩點集合的重心恰好等於這兩點的中點。

延伸至三維空間

在空間座標中，只需再加入 z 座標的平均：

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$

例題： (2, 5, −1) 與 (8, 3, 7) 的中點：

$$M = \left(\frac{2+8}{2},\; \frac{5+3}{2},\; \frac{-1+7}{2}\right) = (5,\; 4,\; 3)$$

「各座標分別取平均」的原則在任意維度均成立，也是 k-means 分群演算法更新群中心的核心步驟。

實際應用

• 平面幾何（國高中數學）： 求線段中點、對角線交點及垂直平分線。
• 地圖與導航： 在地圖上估算兩地點的中間位置（適用於短距離）。
• 電腦圖學： 貝茲曲線細分與線段裁切演算法大量運用中點運算。
• 統計描述： 全距中點（最大值與最小值的平均）使用完全相同的公式。

常見問題（FAQ）

兩點之間的中點怎麼算？

中點公式為 M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)，分別計算兩端點 x 座標與 y 座標的算術平均值即可。例如 P₁(2, 4) 與 P₂(8, 10) 的中點為 M = (5, 7)。

中點和重心是一樣的嗎？

不完全相同。中點適用於線段（兩個端點），而重心是多邊形或立體的幾何中心。三角形的重心是三頂點座標各自的平均：G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)。只有在恰好兩點的情況下，重心與中點才完全一致。

三維空間的中點怎麼求？

在公式中加入 z 座標的平均即可：M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。例如 (1, 2, 3) 與 (5, 6, 7) 的中點為 (3, 4, 5)。「各座標分別取平均」的原則在任意維度都同樣適用。

為什麼中點就是座標的平均值？

中點定義為與兩端點距離相等的點。以 x 方向的等距條件而言：x_M − x₁ = x₂ − x_M，解出 x_M = (x₁ + x₂) / 2，正是算術平均。y 方向也獨立成立相同推導。不需要三角函數或距離公式，只憑中點的定義就能直接推出公式。