最後更新：2026-05-19

一元一次方程式的定義

一元一次方程式是指可以寫成下列形式的方程式：

$$ax + b = c$$

其中 $a$、$b$、$c$ 是已知數，$x$ 是待求的未知數。「一次」表示 $x$ 只以一次方出現，沒有 $x^2$、$x^3$ 或根號項。這是代數中最基本的方程式，也是學習二次方程式和聯立方程組的前置基礎。

求解方法：孤立 x

要求出 $x$，需對等式兩邊執行相同的運算，直到 $x$ 單獨出現在一邊。

步驟一 — 兩邊同減 $b$（移項）：

$$ax = c - b$$

步驟二 — 兩邊同除以 $a$（$a \neq 0$ 時）：

$$x = \frac{c - b}{a}$$

至此即可得出解。

計算範例

求解 $5x + 3 = 23$：

1. 確認係數：$a = 5$，$b = 3$，$c = 23$
2. 移項：$5x = 23 - 3 = 20$
3. 兩邊除以 $a$：$x = 20 / 5 = 4$
4. 驗算： $5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23$ ✓

符號規則

當 $b$ 為負數時（例如 $b = -7$），減去 $b$ 等於加上其絕對值：

$$ax = c - (-7) = c + 7$$

若 $a$ 為負數，除以負數後解的符號會跟著改變，但公式 $x = (c - b) / a$ 在任何符號情況下都能給出正確答案。

特殊情況：a = 0 時

當 $a = 0$，含 $x$ 的項消失，方程式簡化為 $b = c$：

$b = c$ — 無限多解。 由於 $x$ 已不出現在方程式中，任何實數都能滿足等式。例如 $0 \cdot x + 4 = 4$ 對所有 $x \in \mathbb{R}$ 均成立。

$b \neq c$ — 無解。 等式成為像 $4 = 7$ 這樣的矛盾命題，沒有任何 $x$ 值能使它成立。

一次方程式的應用場景

一次方程式在日常生活和理工科中隨處可見：

• 速度、距離、時間： $d = vt$ 求 $t$：$t = d / v$。
• 溫度換算： 攝氏轉華氏 $F = 1.8C + 32$，求 $C = (F - 32) / 1.8$。
• 損益兩平點： 收入等於成本時的銷量 $x$ 可由一次方程式求得。
• 電路計算： 歐姆定律 $V = IR$，求電流 $I = V / R$。

常見問題（FAQ）

如何解一次方程式 ax + b = c？

兩邊同減 b 得 ax = c − b，再兩邊同除以 a 得 x = (c − b) / a（需 a ≠ 0）。例如 3x + 4 = 13，解得 x = (13 − 4) / 3 = 3。關鍵是對等式兩邊進行相同的運算（移項）。

係數 a 等於零時會怎樣？

當 a = 0 時，含 x 的項消失，方程式變為 b = c。若 b = c（例如 0·x + 5 = 5），任何實數都是解（無限多解）。若 b ≠ c（例如 0·x + 5 = 7），等式產生矛盾，無解。

解可以是負數或分數嗎？

可以。例如 2x + 7 = 3 解得 x = −2（負數解），3x + 1 = 3 解得 x = 2/3（分數解）。當結果為分母不超過 1000 的有理數時，計算機會自動以分數形式顯示。

一次方程式和二次方程式有什麼不同？

一次方程式（一次）只含 x 的一次方，當 a ≠ 0 時有唯一解。二次方程式（二次）含 x² 項，可能有 0 個、1 個或 2 個實數解。一次方程式是學習所有高次方程式的基礎。