最後更新：2026-05-18

直圓柱

直圓柱是具有兩個全等圓形底面、由曲面連接、軸線垂直於底面的立體圖形。給定底面半徑 $r$ 與高度 $h$，可求得三個幾何量：體積、側面積與全表面積。

公式

底面半徑 r、高度 h 的圓柱：

屬性	公式
體積	V = πr²h
側面積	A_側 = 2πrh
全表面積	A_全 = 2πr(r + h)

公式的來源

體積就是底面積（πr²）乘以高度 h ——可以想像將無數張薄薄的圓形片從底部堆疊到頂部。

側面積可以這樣理解：將圓柱的曲面縱向切開展平，會得到一個寬為 2πr（圓周長）、高為 h 的長方形，面積即為 2πrh。

全表面積在側面積上加計兩個圓形底面（各 πr²）：2πrh + 2πr² = 2πr(r + h)。

單位換算：cm³ 與公升

常用的體積換算關係：

• 1 L = 1000 cm³ ——將 cm³ 除以 1000 得公升
• 1 m³ = 1000 L
• 1 m³ = 1,000,000 cm³

以 350 mL 飲料罐（r ≈ 3.3 cm、h ≈ 10.2 cm）驗算： V = π × 3.3² × 10.2 ≈ 349.0 cm³ ≈ 350 mL —— 與包裝標示的公稱容量相符。

實際應用範例

儲水桶（r = 0.5 m，h = 1.2 m）：

• 體積 = π × 0.25 × 1.2 ≈ 0.942 m³ = 942 公升
• 側面積 = 2π × 0.5 × 1.2 ≈ 3.77 m²（桶身所需鐵板面積）
• 全表面積 = 2π × 0.5 × (0.5 + 1.2) ≈ 5.34 m²

水杯（r = 4 cm，h = 12 cm）：

• 體積 = π × 16 × 12 ≈ 603 cm³ ≈ 603 mL（一個大杯的容量）

PVC 水管（內徑 r = 5 cm，長度 h = 2 m）：

• 體積 = π × 0.0025 × 2 ≈ 0.01571 m³ = 15.71 公升（滿水時的水量）

半徑的量測方法

如果只知道用捲尺量得的圓周長 C：

r = C ÷ (2π)

例：圓周長 20.7 cm 的罐子，r = 20.7 ÷ (2π) ≈ 3.3 cm。最精確的方法是用數位游標卡尺直接量測直徑，再除以 2。

圓柱、圓錐與球：比較

在半徑和高度相同時的體積比較：

形體	體積
圓柱	πr²h
圓錐	(1/3)πr²h
半球（h = r）	(2/3)πr³

圓錐的體積恰好是同底同高圓柱的 1/3（歐幾里得在《幾何原本》第 XII 卷第 10 命題中證明）。將半徑 r 的球內切於半徑 r、高 2r 的圓柱，球的體積恰好是圓柱的 2/3（阿基米德定理）。

常見問題（FAQ）

如何計算圓柱的體積？

直圓柱的體積公式為 V = πr²h，其中 r 為底面半徑，h 為高度。例如 r = 5 cm、h = 10 cm 的圓柱，V = π × 25 × 10 ≈ 785.4 cm³。概念上即以底面積（πr²）乘以高度，相當於同尺寸圓錐體積的 3 倍。

如何將 cm³ 換算成公升？

1 公升 = 1000 cm³，因此將 cm³ 除以 1000 即可得到公升。例如 785.4 cm³ ÷ 1000 = 0.7854 L。此外，1 m³ = 1000 L，1 L = 0.001 m³。

如何計算圓柱的表面積？

總表面積由側面積與上下兩個圓形底面組成。側面積 = 2πrh，底面積（兩片）= 2πr²，全表面積 = 2πr(r + h)。以 r = 5 cm、h = 10 cm 為例：A_tot = 2π × 5 × (5 + 10) = 150π ≈ 471.2 cm²。側面展開後為寬 2πr、高 h 的矩形。

如何量測圓柱的半徑？

量測底面圓形的直徑再除以 2 即得半徑。對於罐頭或管材，可用捲尺量測圓周長 C，再以 r = C ÷ (2π) 計算半徑。需要精確測量時，建議使用數位游標卡尺。