最後更新：2026-06-05

半球的定義

半球是一個完整球體沿大圓截面切割後所得的立體，由一個平圓底面與一個拱頂狀的曲面所圍成。底面圓的半徑等於原球的半徑。生活中常見的例子包括碗、圓頂建築與冰屋。

公式

半徑為 r 的半球，各幾何量的公式如下：

幾何量	公式	說明
體積	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	球體體積的一半
曲面積	$A_c = 2\pi r^2$	僅拱頂，不含底面
底面積	$A_b = \pi r^2$	平圓面
全表面積	$A = 3\pi r^2$	拱頂 + 底面

公式推導

體積

球體體積為 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$，半球恰好是其一半：

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

亦可由積分推導：高度 $h$ 處的截面半徑為 $\sqrt{r^2 - h^2}$，從 $h = 0$ 積分至 $h = r$：

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

曲面積

球體全表面積為 $4\pi r^2$，拱頂佔其一半：

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

底面積與全表面積

底面為半徑 $r$ 的圓：

$A_b = \pi r^2$

全表面積為曲面積與底面積之和：

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

半球與球體的比較

幾何量	半球	球體	比值
體積	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
曲面積	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
全表面積	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

體積與曲面積均為球體對應值的一半。然而，全表面積為球體表面積的 四分之三，而非一半，原因在於底部平圓面額外貢獻了 $\pi r^2$。此差異是實際計算中最常見的錯誤來源。

計算範例

半徑為 10 cm（0.10 m）的半球形碗：

體積： $V = \frac{2}{3}\pi (0.10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0.001 \approx 0.002094 \text{ m}^3 = 2{,}094 \text{ cm}^3$

曲面積： $A_c = 2\pi (0.10)^2 = 2\pi \times 0.01 \approx 0.0628 \text{ m}^2 = 628.3 \text{ cm}^2$

底面積： $A_b = \pi (0.10)^2 = \pi \times 0.01 \approx 0.0314 \text{ m}^2 = 314.2 \text{ cm}^2$

全表面積： $A = 3\pi (0.10)^2 = 3\pi \times 0.01 \approx 0.0942 \text{ m}^2 = 942.5 \text{ cm}^2$

半徑縮放的影響

體積與 $r^3$ 成正比，面積與 $r^2$ 成正比：

半徑倍數	體積倍數	面積倍數
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

這一性質在容器與圓頂建築的設計中至關重要：半徑加倍使體積增至8倍，而表面積僅增至4倍。

相關計算：球體體積與表面積計算機、圓錐體積與表面積計算機

常見問題（FAQ）

半球的體積公式是什麼？

半球體積為 V = (2/3)πr³，恰好是完整球體體積 (4/3)πr³ 的一半。以 r = 5 cm 為例：r³ = (0.05 m)³ = 0.000125 m³，故 V = (2/3) × π × 0.000125 ≈ 0.000262 m³ = 261.8 cm³。

半球的全表面積是否包含底部平圓面？

包含。全表面積 = 曲面積（2πr²）+ 底面積（πr²）= 3πr²。若只需穹頂面積，使用 2πr² 即可。以 r = 5 cm 為例：曲面積 ≈ 157.1 cm²、底面積 ≈ 78.5 cm²、全表面積 ≈ 235.6 cm²。

半球與完整球體在體積和表面積上有何差異？

半球體積是同半徑球體的一半（V = (2/3)πr³，球體為 (4/3)πr³）。曲面積（2πr²）同樣是球體表面積（4πr²）的一半。但全表面積（3πr²）卻是球體表面積的四分之三，因為底部增加了 πr² 的平圓面。

如何單獨計算半球的曲面積？

穹頂曲面積為 A_c = 2πr²，不含底面。以 r = 5 cm 為例：A_c = 2 × π × 25 ≈ 157.1 cm²。加上底面積（πr² ≈ 78.5 cm²），全表面積為 3πr² ≈ 235.6 cm²。