最後更新：2026-05-18

角錐的定義

角錐是一種由多邊形底面與三角形側面組成的立體，所有側面在頂點處交會。本計算機適用於以長方形（含正方形）為底面的直立角錐。輸入底面尺寸和高度，即可一次求得所有相關數值。

計算公式

設底面長 $l$、底面寬 $w$、垂直高度 $h$：

底面積：

$$A_b = l \times w$$

體積 — 恆為等底等高稜柱的 $\frac{1}{3}$：

$$V = \frac{1}{3} \times A_b \times h = \frac{l \times w \times h}{3}$$

斜高 — 頂點到底面某條稜中點的距離，沿三角形側面量取。長方形底面的前後面與左右面各有其斜高：

$$l_{s,w} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2} \quad \text{（前面／後面）}$$ $$l_{s,l} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \quad \text{（左面／右面）}$$

正四角錐（$l = w = a$）的兩個斜高相等：$l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

側面積 — 四個三角形側面面積之和：

$$A_{lat} = l \cdot l_{s,w} + w \cdot l_{s,l}$$

全表面積：

$$A_{tot} = A_b + A_{lat}$$

體積公式的 $\frac{1}{3}$ 係數

角錐的體積恰好等於等底等高稜柱的三分之一，此結論自古便已知曉。古典證明將三個全等的正四角錐拼合成正立方體，每個角錐恰佔立方體體積的 $\frac{1}{3}$。更一般性的證明借助卡瓦列里原理：在高度 $z$ 處的截面積為 $A_b \times (1 - z/h)^2$，在 $z \in [0,\, h]$ 上積分恰得 $\frac{1}{3} A_b h$。

斜高與垂直高度的區別

垂直高度 $h$ 是從頂點垂直落到底面平面的距離，即俗稱的「角錐的高」。斜高 $l_s$ 則是從頂點沿側面量到底邊中點的距離，相當於三角形側面的高。兩者以直角三角形關聯：$l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$（$r$ 為底面中心到對應底邊中點的距離）。

實際測量時，將直尺貼在側面，從頂點量到底邊中央，即為斜高。

計算範例：吉薩大金字塔與中國古墓

吉薩大金字塔（埃及）底面邊長約 230.4 公尺，原始高度約 146.5 公尺。

底面積： $A_b = 230.4^2 = 53{,}084 \text{ m}^2 \approx 5.3 \text{ 公頃}$

體積： $V = \frac{1}{3} \times 53{,}084 \times 146.5 \approx 2{,}592{,}000 \text{ m}^3$

約 260 萬立方公尺，相當於約 1,000 座奧林匹克標準泳池的蓄水量。

斜高： $l_s = \sqrt{146.5^2 + 115.2^2} \approx 186.4 \text{ m}$

側面積： $A_{lat} \approx 85{,}893 \text{ m}^2 \approx 8.6 \text{ 公頃}$

中國古代的陵墓封土堆（如秦始皇陵）雖多呈截角錐形，但若以四角錐近似計算，同樣可用本公式估算土方量。秦始皇陵封土底部約 350 m × 345 m，高約 76 m，近似體積約 $\frac{350 \times 345 \times 76}{3} \approx 3{,}059{,}000 \text{ m}^3$，與大金字塔同量級。

常見問題（FAQ）

四角錐的體積公式是什麼？

四角錐的體積為 V = (1/3) × 底面積 × 高。若底面為長方形，則 V = (1/3) × l × w × h。以底面 40 cm × 40 cm、高 30 cm 的正四角錐為例：V = (1/3) × 0.16 × 0.30 ≈ 0.016 m³（約 16 公升）。

為什麼四角錐的體積公式有 1/3？

任何角錐的體積恰好等於同底同高角柱體積的三分之一。經典證明是將一個正方體分割成三個全等的正四角錐，每個正好佔三分之一。卡瓦列里原理也可以一般化此結論：截面積隨高度呈二次遞減，積分後得到 1/3 的係數。

四角錐的斜高（斜面高）怎麼計算？

斜高是頂點到底邊中點的距離，也就是每個三角形面的高。前後兩面的斜高：l_s = √(h² + (w/2)²)。正四角錐（底面為正方形，邊長 a）的斜高：l_s = √(h² + (a/2)²)。底面 40 × 40 cm、高 30 cm 時：l_s = √(0.09 + 0.04) ≈ 36.1 cm。

正四角錐的全面積怎麼求？

全面積 = 底面積 + 側面積 = a² + 2 × a × l_s。四個三角形面的面積合計為 2al_s。以 a = 40 cm、l_s ≈ 36.1 cm 為例：S = 1,600 + 2 × 40 × 36.1 ≈ 4,488 cm²。