最後更新：2026-06-05

卜瓦松分配是一種離散機率分配，描述在固定時間或空間區間內，獨立事件以固定平均速率發生的次數。它是統計學中應用最廣泛的分配之一，常見於排隊理論、可靠度工程、流行病學與金融數學等領域。

機率質量函數

給定速率參數 λ > 0 與非負整數 k，機率質量函數定義為：

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

其中 e 為自然對數的底數（≈ 2.71828），k! 為 k 的階乘。

累積分配函數為機率質量函數從 0 到 k 的總和：

$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}$$

「至少 k 次」的機率則利用補餘關係求得：

$$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$$

平均數與變異數

卜瓦松分配的特徵性質是平均數（期望值）與變異數均等於 λ：

$$\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda$$

因此標準差為 √λ，變異係數為 1/√λ，隨 λ 增大而遞減。

計算範例

某醫院急診室每小時平均接診 6 名患者（λ = 6）。某一小時內恰好接診 4 名患者的機率為何？

$$P(X = 4) = \frac{e^{-6} \cdot 6^4}{4!} = \frac{e^{-6} \cdot 1296}{24} \approx 0.1339$$

機率約為 13.4 %。至多接診 4 名患者的機率：

$$P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \frac{e^{-6} \cdot 6^i}{i!} \approx 0.2851$$

至少接診 4 名患者的機率：

$$P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) \approx 0.8488$$

從二項分配推導

當試驗次數 n → ∞ 且成功機率 p → 0，同時保持乘積 np = λ 不變時，二項分配 Binomial(n, p) 的極限即為卜瓦松分配：

$$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$$

主要推導步驟如下：

• 二項係數 n!/(k!(n−k)!) 趨近於 n^k/k!。
• p^k = (λ/n)^k 貢獻 λ^k/n^k，與 n^k 相消。
• 當 n → ∞ 時，(1 − λ/n)^n 趨近於 e^−λ。

平均數與變異數均等於 λ 的原因

在二項分配中，平均數 = np = λ，變異數 = np(1−p)。當 p → 0 時，(1−p) → 1，因此變異數也趨近於 np = λ。「平均數 = 變異數 = λ」正是卜瓦松分配的標誌性性質。若實測資料的變異數遠大於平均數（過度分散），應考慮採用負二項分配或零膨脹模型。

數值計算

k 值較大時，分別計算 λ^k 與 k! 可能發生數值溢位。使用對數形式可提高穩定性：

$$\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)$$

log k! 以 log 2 + log 3 + … + log k 逐步累積，最後再取指數。此方法對 k 達數百的情形仍能保持精確度。

與其他分配的關係

• 二項分配：當 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05（或 n ≥ 100 且 np ≤ 10）時，卜瓦松近似有效。
• 指數分配：卜瓦松過程中相鄰兩事件的等待時間服從參數為 λ 的指數分配，平均等待時間為 1/λ。
• 常態分配：λ 夠大時（通常 λ ≥ 30），(X − λ)/√λ 近似服從標準常態分配。
• 幾何分配：模擬獨立白努利試驗中首次成功所需試驗次數；其連續對應物指數分配透過等待時間連結至卜瓦松過程。

應用領域

• 通訊與網路：分析封包到達路由器的速率；M/M/1 排隊模型假設到達過程服從卜瓦松分配。
• 可靠度工程：在固定故障率假設下，估計某區間內的元件故障次數。
• 流行病學：在固定發病率假設下，模擬特定地區每週新增病例數。
• 精算與風險管理：估計理賠頻率並計算稀有事件的保費。
• 物理學：計算光子探測器的光子數或放射性衰變次數，各粒子以固定機率獨立衰變。

常見問題（FAQ）

卜瓦松分配適用於哪些情況？

當需要計算固定時間或空間區間內獨立事件的發生次數時，可使用卜瓦松分配。適用條件包括：事件彼此獨立、平均發生率 λ 固定，且不會有兩個事件在同一瞬間發生。常見應用包括：電話客服中心每小時的來電數、放射性衰變每秒偵測次數，以及每頁文字的排版錯誤數。

λ（lambda）代表什麼？

λ 是在所選區間內預期發生的平均事件次數。若伺服器每分鐘平均接收5個請求，則 λ = 5。區間單位可自由選擇——秒、公尺或頁面——只需按比例調整 λ 即可。半分鐘的 λ = 2.5，兩分鐘的 λ = 10。

卜瓦松分配與二項分配有何關係？

當試驗次數 n → ∞ 且成功機率 p → 0，同時乘積 np = λ 保持不變時，二項分配的極限即為卜瓦松分配。實務上，當 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05（或 n ≥ 100 且 np ≤ 10）時，卜瓦松近似相當準確，可以較簡便的 e^−λ λ^k / k! 取代計算繁複的二項式公式。

為什麼平均數與變異數都等於 λ？

這項等式是卜瓦松分配的定義特徵，源自其由二項分配取極限的推導過程：平均數 = np = λ，變異數 = np(1−p) → np = λ（當 p → 0）。由此得出標準差為 √λ，變異係數為 1/√λ。若實測資料的變異數遠大於平均數（過度分散），則負二項分配可能更為適合。