最後更新：2026-05-18

直圓錐的定義

直圓錐是頂點位於底面圓心正上方的圓錐。給定底面半徑 r 和垂直高度 h，可依幾何關係求得體積、母線長度、側面積和全表面積。

公式總覽

底面半徑為 r、垂直高度為 h 的直圓錐：

項目	公式
母線長度	$l = \sqrt{r^2 + h^2}$
體積	V = (1/3)πr²h
側面積	A_側 = πrl
全表面積	A_全 = πr(r + l)

母線的定義

母線 l 是從頂點到底面圓周上任意一點的直線距離，沿側面量取。因為 r、h、l 構成直角三角形，由畢氏定理可得 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$。

母線是展開側面積時的關鍵：圓錐的側面展開後會形成一個半徑為 l、弧長為 2πr 的扇形。因此，裁剪冰淇淋甜筒紙、金屬漏斗外殼或圓錐形帽子時，都需要先知道母線長度。

體積公式中 1/3 的幾何意義

V = (1/3)πr²h 中的 1/3 是立體幾何最古老的結論之一。歐幾里得在《幾何原本》（第十二卷命題十）中證明：底面和高完全相同的圓柱，可以由三個一模一樣的圓錐恰好填滿。

用水就能親自驗證：把圓錐裝滿水倒進相同底面的圓柱，重複三次後，圓柱恰好裝滿。從積分的角度看，對圓錐的截面面積從底面積到頂點做積分，得到的結果恰好是圓柱體積的三分之一。

計算範例

常見的交通錐（橘色路障錐）底面半徑約 15 公分、高約 70 公分。

母線長度： $l = \sqrt{15^2 + 70^2} = \sqrt{225 + 4900} = \sqrt{5125} \approx 71.6$ 公分

體積： V = (1/3) × π × 15² × 70 = (1/3) × π × 15,750 ≈ 16,493 立方公分（約 16.5 公升）

側面積（橘色外殼面積）： A_側 = π × 15 × 71.6 ≈ 3,376 平方公分

全表面積（含底面）： A_全 = π × 15 × (15 + 71.6) ≈ 4,083 平方公分

一般甜筒冰淇淋的圓錐部分約 r ≈ 2.5 公分、h ≈ 12 公分，體積約 78.5 立方公分，相當於一個小酒杯的容量。

適用範圍：僅限直圓錐

這些公式適用於直圓錐（軸垂直於底面）。斜圓錐（頂點偏向一側）只要 h 是真正的垂直高度，體積公式 V = (1/3)πr²h 依然成立，但側面積公式則不同且更為複雜。實際生活中的圓錐形物體——甜筒、漏斗、交通錐、尖頂帽——幾乎都是直圓錐，因此這個計算機可以涵蓋絕大多數的使用情境。

常見問題（FAQ）

圓錐體積公式是什麼？怎麼計算？

直圓錐的體積公式為 V = (1/3)πr²h，其中 r 為底面半徑、h 為垂直高度。以 r = 5 公分、h = 12 公分為例：V = (1/3) × π × 25 × 12 ≈ 314.2 立方公分。

為什麼圓錐體積是圓柱的三分之一？

底面與高相同的圓柱，可以由三個完全相同的圓錐恰好填滿。歐幾里得在《幾何原本》（第十二卷命題十）中加以證明。用水實驗即可驗證：將圓錐裝滿水倒入對應圓柱，重複三次後圓柱恰好裝滿。

圓錐的母線長度怎麼求？

母線 l 是頂點到底面圓周上任意一點的距離，沿側面量取。由畢氏定理可得 l = √(r² + h²)。以 r = 5 公分、h = 12 公分為例：l = √(25 + 144) = √169 = 13 公分。母線長度是計算側面積的關鍵。

圓錐表面積的公式是什麼？

全表面積由側面積和底面積兩部分組成。側面積 = πrl；底面積 = πr²；全表面積 = πr(r + l)。以 r = 5 公分、l = 13 公分為例：全表面積 = π × 5 × (5 + 13) = 90π ≈ 282.7 平方公分。