最後更新：2026-06-23

樣本數（比例）

在進行調查或民調之前，必先回答一個問題：需要多少人作答？收集太少，結果的誤差界限會寬到無法區分有意義差異的答案；收集太多，又會在無人需要的精確度上浪費時間與經費。當所要估計的量是一個比例時，例如贊成的占比、會購買的占比、回答「是」的占比，所需樣本數可直接由三項選擇推得：希望多有把握、希望多精確，以及對比例本身的概略推估。

公式

對於估計母體比例，達到目標誤差界限所需的樣本數為

$n = \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}$

各項各司其職：

• $z_{\alpha/2}$ 是對應所選信賴水準的標準常態分布臨界值。90% 信賴水準為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576。信賴水準越高，臨界值越大，所需樣本數也越大。
• $p$ 是所估計的預期（假設）比例，以介於零與一之間的分數表示。$p\,(1 - p)$ 這一項是單一是非作答的變異數。
• $E$ 是誤差界限，即信賴區間的半寬，是估計值上下的 $\pm$ 精確度。較小的誤差界限位於分母並經平方，因此將誤差界限減半，樣本數約增為四倍。

為何 50% 是安全的預設值

$p\,(1 - p)$ 這一項使比例產生作用，其行為相當便利。比例為 0 與為 1 時它皆為零，而恰在比例為 0.5 時達到最大值 0.25。換言之，比例接近二分之一時最難估計，作答的變異最大；比例接近兩端時則較易估計。

若已從前導研究或過往研究取得可信的比例估計值，便應採用：偏離 0.5 的數值可得到較小、較省成本的樣本。但若無可靠的先驗值，假設比例為 0.5 即是保守的選擇。它使 $p\,(1 - p)$ 最大、產生最大的所需樣本數，因此無論真實比例最終為何，皆能保證誤差界限達標。

計算範例

假設欲在 95% 信賴水準下估計母體比例，誤差界限為 5 個百分點，且無先驗估計值，故假設比例為 0.5。臨界值取 1.96：

無條件進位得 385 位受測者，即無數「±3%」與「±5%」民調背後耳熟能詳的數字。若改要求 99% 信賴水準，臨界值升至 2.576，所需樣本數推升至 664。若前導研究顯示真實比例接近 30%，則 $p\,(1 - p)$ 等於 0.21 而非 0.25，在 95% 信賴水準下所需樣本數降至 323。

有限母體校正

上述公式假設母體實質上為無限大，當樣本僅占大群體的一小部分時，此為良好的近似。當樣本占小型且已知母體 $N$ 的相當比例時，常見的概略原則為超過約 5%，則應套用有限母體校正：

$n_{\text{adj}} = \dfrac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}$

此校正總會降低所需樣本數，有時幅度甚大。例如在一個 2,000 人的城鎮中調查 385 人，校正會將所需樣本縮減至約 323。對大型母體而言，調整幅度極小，可予以忽略。

無條件進位

樣本數必須是整數的受測者，而公式幾乎不會恰好落在整數上。應一律無條件進位而非取最接近值：無條件捨去會使實際達成的誤差界限略寬於所設定者，無條件進位則保證所要求的精確度。同樣的邏輯也適用於姊妹工具 平均數樣本數計算機 計算機，它為估計平均數而非比例的研究決定規模；以及 誤差界限計算機 計算機，它反向運算這項關係，回報給定樣本所能達到的精確度。