首頁 數學 階乘計算機 – n! 產生日期: 2026年7月20日 下午09:34 階乘計算機 – n! 輸入 n5 圖表 j! 0 數學 階乘計算機 – n! 計算 0 至 20 的 n!，精確結果最高至 20! = 2,432,902,008,176,640,000。 輸入 n 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 n! j! 0 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-22 階乘的定義 非負整數 nn 的階乘，記作 n!n!，是從 1 到 nn 所有正整數的乘積： n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1 幾個值得記住的數值： nn!01（依定義）115120103,628,800202,432,902,008,176,640,000 0! = 1 的原理 $0! = 1$ 源自遞迴關係 n!=n×(n−1)!n! = n \times (n-1)!：代入 $n = 1$ 得 1!=1×0!1! = 1 \times 0!，因此 $0!$ 必須等於 1。從概念上看，排列零個物件恰好只有一種方式——什麼都不做。這個定義讓排列數與組合數的公式在邊界情況下仍然成立。 階乘的增長速度 階乘的增長速度比任何指數函數都快。$n = 13$ 時就已超過 60 億（$13! = 6{,}227{,}020{,}800$），$n = 20$ 時結果達到 19 位數。這也是本計算機上限設為 20 的原因。 對較大的 nn，斯特靈近似公式提供了良好的估算： n!≈2πn(ne)nn! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^nn!≈2πn(en)n 階乘的應用場景 排列計數。 將 nn 個不同物件排成一列的方式共有 n!n! 種。5 本書排在書架上有 $5! = 120$ 種不同順序。 排列數與組合數。 兩者的公式都以階乘建構： P(n,r)=n!(n−r)!C(n,r)=n!r! (n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!C(n,r)=r!(n−r)!n! 機率論。 階乘出現在二項分配、卜瓦松分配，以及任何計算離散機率的情境中。 微積分。 泰勒展開式在分母使用階乘，以控制各項的增長速度。例如 ex=∑k=0∞xkk!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}。 使用說明 精確整數結果。 在 n≤20n \leq 20 的範圍內，本計算機回傳完全精確的整數值，不含捨入誤差。 排列與組合。 排列計算機 — P(n, r) 直接計算 P(n,r)P(n,r)，組合計算機 — C(n, r) 直接計算 C(n,r)C(n,r)——無需先單獨求出階乘。 常見問題（FAQ）什麼是階乘？非負整數 n 的階乘，記作 n!，是從 1 到 n 所有正整數的乘積。例如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。依慣例，0! = 1。階乘增長極為迅速，20! 已超過 2.4 × 10¹⁸。 為什麼 0! 等於 1？0! = 1 源自遞迴關係 n! = n × (n−1)!：代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，因此 0! 必須等於 1。從概念上看，排列零個物件恰好只有一種方式，那就是什麼都不做。這個定義讓排列數與組合數的公式在邊界情況下仍然成立。 階乘有哪些應用？階乘廣泛應用於組合數學（排列與組合）、機率論（二項式係數、二項分配）、微積分（泰勒展開式，如 eˣ = Σ xⁿ/n!）及數論。只要計算 n 個不同物件的排列數，就會用到階乘。 推薦的下一個 排列計算機 — P(n, r) 計算排列數 P(n, r)：從 n 個元素中取出 r 個依序排列的方法數。支援 n 最大至 20。 深入了解組合計算機 — C(n, r) 計算組合數 C(n, r)：從 n 個元素中取出 r 個且不考慮順序的方法數。支援 n 最大至 20。 深入了解骰子機率計算機 精確計算擲出指定數量骰子後，點數總和達到或超過目標值的機率，結果以最簡分數與小數同時呈現。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多機率 二項分布機率計算機卜瓦松分配計算均勻分布計算器指數分布計算器負二項分布計算器階乘計算機 – n! +8 more Show less 常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)幾何分配計算機期望值計算機骰子機率計算機撲克牌機率計算機 其他數學計算機 代數 2×2 反矩陣計算器2×2 特徵值與特徵向量計算器一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器二項式定理 — 展開 (a + b)ⁿ三元一次聯立方程式求解（克拉瑪公式）三次方程式求解器多項式求值（霍納法）多項式定積分計算機多項式導數計算機行列式計算機（2×2 與 3×3）辛普森法則計算器指數成長與衰減計算器矩陣乘法計算配方法計算機高斯消去法計算機（3×3）梯形法則計算器部分分式分解計算器絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）複數計算器平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式拋物線焦點與準線計算器直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機菱形面積計算器黃金比例計算器圓弓形計算機圓方程式計算器圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機橢圓焦點計算器環形面積計算機點到直線距離計算機雙曲線計算器立體幾何 半球體積與表面積計算四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線角錐台體積計算空間中兩點間距離（3D）長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機橢球體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）向量投影計算機兩向量夾角計算器極座標 ⇄ 直角座標轉換器餘弦定理計算機點積計算統計 加權平均計算機卡方適合度檢定卡方獨立性檢定平均絕對偏差計算器平均數、中位數與眾數計算機平均數的標準誤平均數樣本數計算機母體比例信賴區間計算機皮爾森相關係數計算機共變異數計算器百分比誤差計算機百分位數與四分位數計算機貝氏定理計算機兩比例 z 檢定信賴區間計算機柯恩 d 值計算器相對風險計算機益一需治數（NNT）計算器勝算比計算機單因子變異數分析工具單樣本 t 檢定計算器幾何平均數計算描述統計計算機誤差界限計算機樣本數計算機（比例）線性迴歸計算機調和平均數計算器雙樣本 t 檢定計算機（Welch）離群值計算器（IQR 法）變異係數計算機變異數與標準差計算機Z 分數轉 P 值計算機Z分數計算機數列與級數 巴斯卡三角形平均變化率計算機等比數列計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 次方計算科學記數法轉換器第 n 次方根計算最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機數字捨入計算機模運算計算機歐拉函數計算機質因數分解計算機質數判斷器整除性規則查驗器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-22 階乘的定義 非負整數 nn 的階乘，記作 n!n!，是從 1 到 nn 所有正整數的乘積： n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1 幾個值得記住的數值： nn!01（依定義）115120103,628,800202,432,902,008,176,640,000 0! = 1 的原理 $0! = 1$ 源自遞迴關係 n!=n×(n−1)!n! = n \times (n-1)!：代入 $n = 1$ 得 1!=1×0!1! = 1 \times 0!，因此 $0!$ 必須等於 1。從概念上看，排列零個物件恰好只有一種方式——什麼都不做。這個定義讓排列數與組合數的公式在邊界情況下仍然成立。 階乘的增長速度 階乘的增長速度比任何指數函數都快。$n = 13$ 時就已超過 60 億（$13! = 6{,}227{,}020{,}800$），$n = 20$ 時結果達到 19 位數。這也是本計算機上限設為 20 的原因。 對較大的 nn，斯特靈近似公式提供了良好的估算： n!≈2πn(ne)nn! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^nn!≈2πn(en)n 階乘的應用場景 排列計數。 將 nn 個不同物件排成一列的方式共有 n!n! 種。5 本書排在書架上有 $5! = 120$ 種不同順序。 排列數與組合數。 兩者的公式都以階乘建構： P(n,r)=n!(n−r)!C(n,r)=n!r! (n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!C(n,r)=r!(n−r)!n! 機率論。 階乘出現在二項分配、卜瓦松分配，以及任何計算離散機率的情境中。 微積分。 泰勒展開式在分母使用階乘，以控制各項的增長速度。例如 ex=∑k=0∞xkk!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}。 使用說明 精確整數結果。 在 n≤20n \leq 20 的範圍內，本計算機回傳完全精確的整數值，不含捨入誤差。 排列與組合。 排列計算機 — P(n, r) 直接計算 P(n,r)P(n,r)，組合計算機 — C(n, r) 直接計算 C(n,r)C(n,r)——無需先單獨求出階乘。 常見問題（FAQ）什麼是階乘？非負整數 n 的階乘，記作 n!，是從 1 到 n 所有正整數的乘積。例如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。依慣例，0! = 1。階乘增長極為迅速，20! 已超過 2.4 × 10¹⁸。 為什麼 0! 等於 1？0! = 1 源自遞迴關係 n! = n × (n−1)!：代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，因此 0! 必須等於 1。從概念上看，排列零個物件恰好只有一種方式，那就是什麼都不做。這個定義讓排列數與組合數的公式在邊界情況下仍然成立。 階乘有哪些應用？階乘廣泛應用於組合數學（排列與組合）、機率論（二項式係數、二項分配）、微積分（泰勒展開式，如 eˣ = Σ xⁿ/n!）及數論。只要計算 n 個不同物件的排列數，就會用到階乘。
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