最後更新：2026-05-13

二次方程式

二次方程式是指最高次項為 $x^2$ 的方程式，其標準式為：

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

其中 $a$、$b$、$c$ 為實數係數。條件 $a \neq 0$ 不可或缺——若 $a = 0$，方程式便退化為一次方程式。

求根公式

任何二次方程式的根都可以透過以下公式求得：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

其中 ± 產生兩個根：

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

判別式的意義

根號內的表達式 $D = b^2 - 4ac$ 稱為判別式，其符號決定了根的性質：

判別式	根的性質
$D > 0$	兩個相異實數根
$D = 0$	一個重根（二重實數根）
$D < 0$	兩個共軛複數根

重根的情況（D = 0）

當判別式為零時，兩根相等：

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

此值恰為對應拋物線頂點的 $x$ 座標。

複數根的情況（D < 0）

當判別式為負數時，$\sqrt{D}$ 在實數範圍內無意義，根為複數：

$x = \alpha \pm \beta i$

其中

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$ 為實部，$\beta$ 為虛部。對於具有實數係數的方程式，複數根必定以共軛對的形式出現。

計算範例：$x^2 - 3x + 2 = 0$

取 $a = 1$、$b = -3$、$c = 2$：

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

計算器使用說明

輸入係數 $a$、$b$、$c$，計算器便會自動求出判別式和根。

• 判別式 $\geq 0$：根 $x_1$ 和 $x_2$ 顯示在「實數根」區塊。
• 判別式 $< 0$：實部 $\alpha$ 和虛部 $\beta$ 顯示在「複數根」區塊。

與拋物線的關係

方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，即為拋物線 $y = ax^2 + bx + c$ 與 $x$ 軸的交點橫座標。

• $D > 0$：拋物線與 $x$ 軸有兩個相異交點。
• $D = 0$：拋物線與 $x$ 軸相切（頂點在 $x$ 軸上）。
• $D < 0$：拋物線與 $x$ 軸無實數交點。

常見問題（FAQ）

什麼是二次方程式公式？

對於 ax² + bx + c = 0，解為 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)。其中 ± 產生兩個根，通常以 x₁（取 +）和 x₂（取 −）表示。這兩個根即拋物線 y = ax² + bx + c 與 x 軸的交點。

判別式代表什麼意義？

判別式 D = b² − 4ac 決定根的性質。若 D > 0，有兩個相異實數根。若 D = 0，有一個重複實數根（x₁ = x₂ = −b ÷ 2a）。若 D < 0，有兩個共軛複數根，不存在實數根。

當 D < 0 時，複數根是什麼？

當判別式為負數時，根為共軛複數：x = α ± βi，其中 α = −b ÷ (2a) 為實部，β = √(−D) ÷ (2|a|) 為虛部。對於係數為實數的方程式，複數根必定成共軛對出現。