最後更新：2026-05-19

抽牌機率的運作原理

超幾何分布是描述不放回抽樣中，從有限母體內抽取指定類型物件之精確機率的數學模型。從牌組中發牌即為典型的不放回抽樣情境：每抽走一張，剩餘牌組的組成就跟著改變，使得每次抽牌並非獨立事件，無法以固定機率的二項分布處理。本計算機將超幾何分布應用於任意牌組大小、目標牌張數、手牌張數與期望命中張數的組合。

超幾何公式

設牌組共有 $N$ 張牌，其中 $K$ 張為目標牌，不放回地抽取 $n$ 張，恰好抽到 $k$ 張目標牌的機率為：

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

各項的組合意義如下：

• $\binom{K}{k}$ — 從 $K$ 張目標牌中恰好選出 $k$ 張的方法數
• $\binom{N-K}{n-k}$ — 從剩餘 $N-K$ 張非目標牌中選出 $n-k$ 張來補足手牌的方法數
• $\binom{N}{n}$ — 從 $N$ 張牌中任意取出 $n$ 張的所有方法數

公式的邏輯是：計算符合條件的手牌組合數，除以所有可能的手牌組合數。

計算範例：5張手牌恰好拿到2張A

標準撲克發牌情境：$N = 52$、$K = 4$（A 牌）、$n = 5$、$k = 2$。

$$P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17\,296}{2\,598\,960} \approx 0.03993$$

約 4.0% 的 5 張手牌中恰好含有兩張 A。若問至少拿到一張 A，機率則高出許多——約 34.1%。

每手牌的 A 期望張數為：

$$E[X] = \frac{n \cdot K}{N} = \frac{5 \times 4}{52} = \frac{5}{13} \approx 0.385$$

平均每手牌約有 0.385 張 A。雖然實際手牌中只會出現整數張，但期望值描述的是大量發牌後的長期平均。

「至少 k 張」與「恰好 k 張」的差異

P(至少 k 張)，即 $P(X \geq k)$，是將機率質量函數（PMF）從 $k$ 一路加總到 $\min(n, K)$：

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{\min(n,K)} P(X = i)$$

實際牌局中，「至少拿到幾張」往往比「恰好幾張」更為常用。分布圖直觀呈現機率質量分散在所有可能命中張數上的情形。

常見抽牌情境一覽

牌組	目標牌	手牌	期望命中	P（恰好）	P（至少）
52	4（A）	5	1	29.9%	34.1%
52	4（A）	5	2	4.0%	4.2%
52	13（紅心）	5	3	8.2%	9.3%
52	12（人頭牌）	5	2	25.1%	32.5%
52	4（A）	2	1	14.5%	14.9%
312（6副）	24（A）	2	1	14.2%	14.8%

最後一列是 6 副牌的 21 點鞋情境。當 $K/N$ 維持不變（24/312 = 4/52），機率幾乎沒有變化——這是因為超幾何分布的機率主要由比值決定，而非絕對張數。

超幾何分布與二項分布的比較

二項分布適用於每次試驗獨立且成功機率固定 $p$ 的情境。抽牌不是獨立的——每抽走一張，下一張的成功機率就會改變。以 52 張牌為例，差距雖小但確實存在：

• 二項近似（5張手牌中至少1張A）：$1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33.0\%$
• 超幾何精確值：$\approx 34.1\%$

當手牌張數佔牌組比例較高時，差距會明顯放大。例如從 20 張牌中抽 10 張，二項近似誤差已相當顯著，而超幾何公式始終保持精確。

使用說明

1. 牌組總張數 — 抽牌前的總張數。標準牌組：52；6副 21 點鞋：312。若要模擬牌局中途的狀況，可扣除已知已發出的牌。
2. 目標牌張數 — 定義哪些牌算「命中」。A 牌：4；黑桃：13；紅色 K：2。
3. 手牌張數 — 一次發出的張數。
4. 期望命中張數 — 欲查詢的命中數。若只需查詢至少達到某個數量的機率，請看 P(至少 k 張) 那欄。

分布圖顯示完整的機率質量函數（PMF），從 0 張命中到最多可能命中張數。反白的直方條對應所輸入的期望命中張數。

常見問題（FAQ）

5張手牌拿到2張A的機率是多少？

以標準52張牌組、4張A、5張手牌計算：P(X = 2) = C(4,2) × C(48,3) / C(52,5) = 6 × 17,296 / 2,598,960 ≈ 0.03993，約為 4.0%。若只需至少拿到1張A，機率則高出許多，約為 34.1%。可輸入牌組 = 52、目標牌 = 4、手牌 = 5、期望命中 = 2 來驗算。

為什麼撲克抽牌要用超幾何分布？

超幾何分布描述的是在「不放回抽樣」的有限母體中，成功抽出指定類型物件的機率模型。抽牌恰好符合這個情境：牌組是母體，目標牌是其中一類，其餘是另一類；每抽走一張牌，剩餘牌組的組成就跟著改變，這正是不放回抽樣的核心特徵。若每抽一張後都放回並重新洗牌，則應改用較簡單的二項分布。

這個計算機是「不放回」還是「放回」抽牌？

不放回——這是所有紙牌遊戲的標準規則。每抽出一張牌後不放回牌組，因此後續每次抽牌的機率都會改變，超幾何公式正確地處理了這一點。若需計算放回抽牌（每次抽完後放回再洗牌）的機率，則應使用二項公式，可參考本站的二項機率計算機。

如何計算同花或其他完整牌型的機率？

涉及多重條件的牌型需要直接計算符合條件的5張牌組合數，無法用單一超幾何計算完成。以同花為例（5張同一花色）：每種花色有 C(13,5) = 1,287 種組合，4種花色共 5,148 種同花手牌，除以全部 C(52,5) = 2,598,960 種手牌，機率約為 0.197%。本計算機適用於單一條件的抽牌情境（恰好或至少抽到 k 張某類牌）——完整撲克牌型頻率請參考組合數學教材或撲克賠率表。