最後更新：2026-05-20

配方法

配方法（completing the square）是高中數學的核心技巧，能將二次式 $ax^2 + bx + c$ 改寫成頂點式 $a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是對應拋物線的頂點。本計算機自動完成整個過程，並逐步展示推導步驟。

配方法的步驟

從 $ax^2 + bx + c$ 出發：

第一步 — 求 h（頂點的 x 座標）：

$$h = -\frac{b}{2a}$$

第二步 — 求 k（頂點的 y 座標）：

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

第三步 — 寫成頂點式：

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

為什麼這樣做是對的

先從前兩項提出因式 $a$，再在括號內補上讓括號成為完全平方的項：

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

括號內補入 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$，乘以 $a$ 後等於 $\frac{b^2}{4a}$；同時在括號外減去相同的量，整體數值不變。代入 $h = -\frac{b}{2a}$、$k = c - \frac{b^2}{4a}$，即得 $a(x - h)^2 + k$。

計算範例

將 $x^2 - 6x + 11$ 化為頂點式。

已知 $a = 1$、$b = -6$、$c = 11$。

$$h = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \times 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

驗算： 展開 $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

頂點為 $(3,, 2)$，對稱軸為 $x = 3$，最小值為 $2$。

頂點式告訴你什麼

性質	數值
頂點	$(h,\, k)$
對稱軸	$x = h$
最小值（$a > 0$）	$y = k$，在 $x = h$ 時取得
最大值（$a < 0$）	$y = k$，在 $x = h$ 時取得

當 $a > 0$，拋物線開口向上（∪ 形），頂點是最低點。當 $a < 0$，拋物線開口向下（∩ 形），頂點是最高點。$|a|$ 的大小決定開口的寬窄：$|a|$ 越大，拋物線越窄；$|a|$ 越小，開口越寬。

從配方法推導求根公式

配方法同樣是求根公式的推導來源。令 $ax^2 + bx + c = 0$，化為頂點式後對 $x$ 求解：

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

代入 $h = -\frac{b}{2a}$、$k = c - \frac{b^2}{4a}$ 並整理：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

這就是求根公式——配方法是它在一般情形下成立的代數證明。

配方法的應用場合

• 求最大值與最小值：直接從頂點式讀出，不需微分。
• 二次方程式求解：因式分解不易時，配方法是可靠的替代方案。
• 推導求根公式：從頭理解公式的由來，而非死記硬背。
• 拋物線作圖：已知頂點 $(h, k)$ 和開口方向，就能快速描繪函數圖形。
• 物理與工程：拋體運動、光學拋物面、衛星碟型天線等問題，都能透過頂點式直接求極值。

常見問題（FAQ）

配方法有什麼用？

配方法將 ax² + bx + c 改寫成 a(x − h)² + k 的頂點式，使頂點 (h, k) 一眼可讀。不需微分，就能直接看出拋物線的最小值（或最大值）為 k、對稱軸為 x = h。高中常見的最大最小值問題、拋物線作圖，以及推導求根公式，都以配方法為核心工具。

配方法和求根公式有什麼關係？

求根公式正是對一般式 ax² + bx + c = 0 進行配方後推導出來的。兩邊除以 a，得 x² + (b/a)x + c/a = 0；再加減 (b/(2a))² 構成完全平方，得 (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)；兩邊開根號後整理，即得 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。因此求根公式的本質，就是配方法的代數結果。

頂點 (h, k) 代表什麼？

頂點是拋物線的轉折點。當 a > 0，拋物線開口向上，頂點是最低點：ax² + bx + c 的最小值為 k，在 x = h 時取得。當 a < 0，拋物線開口向下，(h, k) 是最高點。直線 x = h 是拋物線的對稱軸，拋物線以此線為鏡像左右對稱。

a 的正負號如何影響拋物線形狀？

a > 0 時，拋物線開口向上（∪ 形），頂點為最小值點。a < 0 時，開口向下（∩ 形），頂點為最大值點。|a| 的大小決定開口寬窄：|a| 越大，開口越窄；|a| 越小，開口越寬。若 a = 0，式子退化為一次式，配方法無意義。