最後更新：2026-06-05

點到直線的距離

給定座標平面上一點 P = (p_x, p_y) 及一條直線，點到直線的距離定義為從 P 出發，垂直落在直線上的線段長度，即垂直距離。這條線段是 P 到直線上所有點中最短的一條。

當直線以一般式 Ax + By + C = 0 表示時，垂直距離公式為：

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

分母 √(A² + B²) 是法向量 (A, B) 的長度，其作用是將分子的代數量換算為真正的幾何長度。

公式推導

直線 Ax + By + C = 0 的法向量為 n = (A, B)，方向垂直於直線。設 Q = (x₀, y₀) 是直線上任意一點，則 Ax₀ + By₀ + C = 0。

考慮向量 $\overrightarrow{QP} = (p_x - x_0,\; p_y - y_0)$ 在單位法向量 $\hat{\mathbf{n}} = (A, B)/|\mathbf{n}|$ 方向上的有號投影：

$\text{有號距離} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

由於 Q 在直線上，Ax₀ + By₀ = −C，代入後：

$\text{有號距離} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

取絕對值即得無號幾何距離 d。正負號代表 P 位於直線的哪一側：正值表示與法向量同側，負值表示反側。

垂足座標

垂足 F 是直線上距 P 最近的點，即從 P 向直線作垂線的落腳點。令

$t = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{A^2 + B^2}$

則垂足座標為：

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

可驗證：$AF_x + BF_y + C = 0$（F 在直線上），且線段 PF 的長度等於 d。

計算範例

題目： 求點 P = (1, −2) 到直線 3x − 4y + 5 = 0 的距離，並求垂足座標。

步驟一——計算分子與分母：

$Ap_x + Bp_y + C = 3(1) + (-4)(-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

步驟二——垂直距離：

$d = \frac{|16|}{5} = 3.2$

步驟三——垂足座標：

$t = \frac{16}{25} = 0.64$

$F_x = 1 - 3 \times 0.64 = -0.92, \qquad F_y = -2 - (-4) \times 0.64 = 0.56$

驗證： $3(-0.92) + (-4)(0.56) + 5 = -2.76 - 2.24 + 5 = 0$ ✓

點 P 到直線的距離為 3.2 個單位，直線上距 P 最近的點為 F = (−0.92, 0.56)。

斜截式轉一般式

若直線以斜截式 y = mx + b 給出，可整理為：

$mx - y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

例如，y = 2x − 3 化為 2x − y − 3 = 0，則 A = 2、B = −1、C = −3。

此外，將 A、B、C 同乘任意非零常數不影響直線或距離，因為分子與分母以相同比例縮放，最終結果不變。

特殊情況

• 點在直線上： Ap_x + Bp_y + C = 0，故 d = 0，垂足 F 即為 P 本身。
• 水平線（A = 0）：公式化簡為 d = |By + C| / |B|。
• 垂直線（B = 0）：公式化簡為 d = |Ax + C| / |A|；此時圖形不顯示（分母為零）。
• 退化方程式（A = B = 0）：若 C ≠ 0 則方程式無解，距離公式無意義；若 C = 0 則任何點皆滿足，亦無法定義距離。

與畢氏定理的關係

此公式的幾何意義可透過直角三角形理解：點 P、垂足 F，以及直線上另一點 Q，構成一個直角三角形，直角位於 F。斜邊 PQ 滿足 PQ² = PF² + FQ²，確認了 PF（垂直距離）短於 P 到直線上任何其他點的距離。

常見問題（FAQ）

點到直線距離的公式是什麼？

給定一般式直線 Ax + By + C = 0 與點 P = (p_x, p_y)，垂直距離為 d = |Ap_x + Bp_y + C| / √(A² + B²)。分子 Ap_x + Bp_y + C 是將點 P 代入直線方程式所得的「偏差量」；除以法向量 (A, B) 的長度 √(A² + B²)，即可將此代數量轉換為真正的幾何距離。

如何求點到直線的垂足座標？

垂足 F 是直線上距 P 最近的點。令 t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²)，則 F = P − t·(A, B)，展開為座標：F_x = p_x − A·t，F_y = p_y − B·t。線段 PF 垂直於直線，其長度等於距離 d。

直線以斜截式 y = mx + b 給出時，如何轉換為一般式？

將 y = mx + b 整理為 mx − y + b = 0，則 A = m、B = −1、C = b。例如 y = 2x − 3 化為 2x − y − 3 = 0，即 A = 2、B = −1、C = −3。需注意：將 A、B、C 同乘以任意非零常數不會改變直線或距離，因為分子與分母會以相同比例縮放而抵消。

公式中為什麼要除以 √(A² + B²)？

向量 n = (A, B) 是直線 Ax + By + C = 0 的法向量，其長度為 √(A² + B²)。表達式 Ap_x + Bp_y + C 量測的是點 P 在法向量方向上的「超出量」，但單位是 |n|，而非座標單位。除以 |n| 後，才能將結果換算為真正的幾何長度。若直線已化為單位法向量形式（即 A² + B² = 1），則分母為 1，公式自然簡化。