最後更新：2026-05-20

外接圓的定義

三角形的外接圓是唯一通過三個頂點的圓，其半徑稱為外接圓半徑 $R$，圓心稱為外心。本計算機只需輸入三邊長 $a$、$b$、$c$，即可算出 $R$、外接圓面積與外接圓周長。

每個三角形恰好有一個外接圓——這是三角形特有的性質，一般四邊形並不具備。外接圓在古典幾何、三角學與測量學中都有廣泛應用。

外接圓半徑的計算方法

標準做法是先用海龍公式求三角形面積，再代入外接圓半徑公式。

第一步 — 半周長：

$s = \frac{a + b + c}{2}$

第二步 — 三角形面積（海龍公式）：

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

第三步 — 外接圓半徑：

$R = \frac{abc}{4S}$

計算範例 — 7-8-9 三角形：

$s = \frac{7+8+9}{2} = 12$

$S = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$

$R = \frac{7 \times 8 \times 9}{4 \times 26.83} = \frac{504}{107.3} \approx 4.70$

外接圓面積為 $\pi R^2 \approx 69.4$，外接圓周長為 $2\pi R \approx 29.5$。

外心的位置

外心 $O$ 到三個頂點等距，是三邊垂直平分線的交點。其位置因三角形類型而異：

三角形類型	外心位置
銳角（各角均小於 90°）	在三角形內部
直角（有一角等於 90°）	斜邊中點
鈍角（有一角大於 90°）	在三角形外部

直角三角形提供了一個實用的驗算方式：三邊為 3、4、5 時，外心在斜邊 5 的中點，故 $R = 5/2 = 2.5$，與公式 $R = abc/(4S) = 60/24 = 2.5$ 吻合。

外接圓與正弦定理的關係

外接圓半徑透過廣義正弦定理與各角建立優雅的聯繫：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

這說明 $R$ 等於任一邊與其對角正弦值之比的一半，也解釋了直角三角形的特例：當 $C = 90°$ 時，$\sin C = 1$，故 $2R = c$，即 $R = c/2$。

外接圓與內切圓的比較

內切圓在三角形內部與三邊相切，其半徑 $r$ 為：

$r = \frac{S}{s}$

兩者滿足不等式 $R \geq 2r$：外接圓半徑始終是內切圓半徑的至少 2 倍，比值 $R/r$ 的最小值 2 僅在等邊三角形時達到。以 3-4-5 三角形為例：$R = 2.5$、$r = 6/6 = 1$，即 $R/r = 2.5$，大於最小比值 2。

兩個半徑均依賴相同的面積 $S$ 與半周長 $s$，但意義不同：$R$ 反映三角形向外「延伸」的程度，$r$ 則衡量三角形內部的「空間寬裕度」。

三角不等式

公式有意義的前提是三邊能構成一個真實的三角形，須滿足三角不等式：

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

若任一條件不成立，三角形便不存在。例如三邊為 1、2、10 時，因 $1 + 2 = 3 < 10$，海龍公式的根號內會出現負值，$R$ 無定義。

常見問題（FAQ）

外接圓半徑是什麼？怎麼計算？

外接圓半徑 R 是通過三角形三個頂點的唯一圓（外接圓）之半徑。若三邊為 a、b、c，面積為 S，則 R = abc ÷ (4S)。以 3-4-5 直角三角形為例：S = 6，故 R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2.5。所有直角三角形的外接圓半徑恰好等於斜邊的一半。

外接圓圓心在三角形的哪個位置？

外接圓圓心 O 到三個頂點等距，是三邊垂直平分線的交點。其位置因三角形類型而異：銳角三角形的圓心在三角形內部；直角三角形的圓心恰好在斜邊中點；鈍角三角形的圓心則落在三角形外部，位於最長邊的對側。

外接圓和內切圓有什麼不同？

外接圓通過三個頂點，半徑 R = abc ÷ (4S)；內切圓與三邊內側相切，半徑 r = S ÷ s，其中 s = (a + b + c) ÷ 2 為半周長。以 3-4-5 直角三角形為例：R = 2.5、r = 1。R ≥ 2r 恆成立：外接圓半徑始終是內切圓半徑的至少 2 倍，比值 R/r 的最小值 2 僅在等邊三角形時達到。

外接圓半徑與正弦定理有何關係？

廣義正弦定理說明：a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R。這表示外接圓半徑等於任一邊與其對角正弦值之比的一半。例如 a = 5、sin A = 0.6 時，R = 5 ÷ (2 × 0.6) ≈ 4.167。也因此，直角三角形（sin 90° = 1）的外接圓半徑恰為斜邊的一半。