最後更新：2026-05-19

本計算機的功能

本計算機可計算任意數值的Z分數，並在假設常態分布的前提下將其轉換為近似百分等級，只需輸入觀測值、平均數與標準差，無需查Z表。

Z分數的定義

Z分數（又稱標準分數）衡量某個數值距離分布平均數有幾個標準差：

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

• x — 觀測值
• μ — 母體（或樣本）平均數
• σ — 標準差

Z分數為0代表等於平均數；Z = +1表示高於平均數一個標準差；Z = −2表示低於平均數兩個標準差。正負號表示方向，絕對值表示距離。

Z分數的用途

Z分數能將來自不同分布的數值放在同一尺度上比較：

• 一位學生數學考85分（平均70分，σ＝10），英文考70分（平均55分，σ＝10），兩科均為z＝1.5，相對表現完全相同。
• 身高170公分的女性（平均約161公分，σ≈6公分），z≈1.5，屬偏高水準；同樣身高的男性（平均約171公分，σ≈6公分），z≈−0.17，接近平均。

若不經過標準化，這些跨群體比較毫無意義。

68-95-99.7法則

對任何常態分布，數值分布如下：

範圍	數值所占比例
μ ± 1σ（|z| < 1）	約 68.3%
μ ± 2σ（|z| < 2）	約 95.4%
μ ± 3σ（|z| < 3）	約 99.7%

因此，|z| ≥ 2 的數值在常態分布中出現機率不足5%；|z| ≥ 3 則不到0.3%，常被視為統計離群值。

Z分數轉百分等級

若資料符合常態分布，百分等級由標準常態分布累積分布函數計算：

$$\text{百分等級} = \Phi(z) \times 100$$

本計算機透過誤差函數 erf（$\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$）內部計算 Φ(z)，主要參考值如下：

Z分數	百分等級
−3	0.13
−2	2.28
−1	15.87
0	50.00
+1	84.13
+2	97.72
+3	99.87

母體標準差與樣本標準差

公式相同，但使用的標準差類型會影響結果：

• 母體標準差（σ） — 當擁有全體資料時使用（例如全班成績）。分母為 n。
• 樣本標準差（s） — 當資料為從母體中抽樣的子集時使用。分母為 n − 1（貝塞爾修正），數值略大於 σ。

教科書中的Z分數計算通常使用母體標準差；推論統計則多使用樣本標準差，請依情境選擇。

計算範例

範例一 — 考試成績

某次考試全班平均70分，標準差10分，某生考了85分。

$$z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$$

Φ(1.5) ≈ 0.933，該生位於約第93百分等級，優於全班約93%的同學。

範例二 — 身高

某女性身高170公分。參考值：μ≈161公分，σ≈6公分。

$$z = \frac{170 - 161}{6} = 1.5$$

Φ(1.5) ≈ 0.933，她的身高高於約**93%**的同齡女性。

範例三 — 品質管制

某零件目標重量為500g，σ＝20g。量測值為455g。

$$z = \frac{455 - 500}{20} = -2.25$$

Φ(−2.25) ≈ 0.012，僅約**1.2%**的正常產品重量會這麼低，屬於品管異常警示範圍。

百分等級不可靠的情況

百分等級轉換假設資料呈常態分布，以下情況需謹慎解讀：

• 偏態分布（薪資、反應時間等）——實際百分等級可能與計算結果差距顯著。
• 厚尾分布（金融報酬等）——極端Z分數的出現頻率遠高於常態分布預測。
• 離散資料（計數、有限尺度得分等）——僅能視為粗略近似。

這些情況下，Z分數仍可作為相對比較的參考，但不應將百分等級數字視為精確值。

與常態分布計算機的差異

常態分佈計算機還可計算機率密度 f(x)，以及累積機率 P(X < x) 和 P(X > x)。需要完整分布資訊時請使用常態分布計算機；只需快速標準化單一數值並查看百分等級時，使用本Z分數計算機即可。

常見問題（FAQ）

Z分數（Z-score）是什麼？怎麼計算？

Z分數（標準分數）用來衡量某個數值距離分布平均數有幾個標準差：z = (x − μ) / σ。Z分數為0表示等於平均數，+1.5表示高於平均數1.5個標準差，−2表示低於平均數2個標準差。Z分數能將不同分布的數值轉換到同一尺度，廣泛應用於學科成績比較、健康評估與品質管理。

如何將Z分數轉換成百分等級？

若資料服從常態分布，百分等級等於標準常態分布的累積分布函數 Φ(z) 乘以100。本計算機自動計算，無需查表。主要參考值：z = 0 → 第50百分等級，z = 1 → 約第84，z = −1 → 約第16，z = 1.645 → 約第95，z = 2 → 約第97.7，z = −2 → 約第2.3百分等級。

Z分數多高才算高或極端？

常用參考基準：|z| < 1為一般水準（常態分布中約68%的數值落在此範圍），1 ≤ |z| < 2稍偏離常態（約27%），|z| ≥ 2屬罕見（約4.6%）。|z| > 3的數值在常態分布中出現機率不到0.3%，通常被視為統計離群值。品質管理中的「三個標準差原則」即源自這項特性。

顯示的百分等級是否假設常態分布？

Z分數本身無論分布為何皆有效，它只是將x相對於μ和σ重新縮放。但要將Z分數解讀為百分等級，就需要資料符合（或近似符合）常態分布。若資料呈偏態（如收入、反應時間）或具有厚尾（如金融報酬），顯示的百分等級可能與實際排名相差甚遠。此時應將Z分數僅作為相對比較參考，而非直接解讀百分等級數字。