最後更新：2026-07-01

兩向量之間的夾角

兩個共用起點的向量會張開一個夾角。這個夾角衡量兩向量有多麼一致：夾角小代表方向幾乎相同，直角代表互相垂直，平角代表方向相反。內積可以把這個幾何概念轉化為一條直接從分量計算的公式。

公式

兩向量的內積與它們之間的夾角藉由下式相連：

對夾角求解，便得到實際使用的公式：

括號內的分數就是夾角的餘弦。由於除以長度會把長度約掉，因此只有方向才有影響——把任一向量乘上倍數都不會改變夾角。

各個部分

• 內積：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$。
• 長度：$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$，$\mathbf{b}$ 亦同。
• 餘弦：把內積除以兩長度的乘積。結果一定落在 −1 與 1 之間。
• 夾角：取反餘弦。答案介於 0° 與 180° 之間。

範例

設 a = (1, 0, 0)、b = (1, 1, 0)。

內積為

長度為

因此夾角的餘弦為

夾角為

正交判定

直角是最容易辨認的情況。當內積恰好為零時，餘弦為零，夾角為 90°：兩向量互相垂直，也就是正交。以 a = (1, 0)、b = (0, 1) 為例，內積為 $(1)(0) + (0)(1) = 0$，因此兩者的夾角為 90°。這就是為什麼檢查 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 是判斷兩方向是否成直角的標準做法。

同方向與反方向

另外兩個基準情況界定了範圍：

• 當兩向量指向相同方向時，餘弦為 1，夾角為 0°。
• 當兩向量指向相反方向時，餘弦為 −1，夾角為 180°。

其餘所有情況都落在這兩個極端之間，這就是為什麼兩向量之間的夾角總是落在 0° 到 180° 的區間內。

角度或弧度

同一個夾角可以用任一單位來讀。角度把一整圈分成 360 份；弧度則以單位圓上的弧長來量度夾角，一整圈等於 $2\pi$。換算關係為 $180° = \pi\ \text{rad}$，因此 45° 是 $\pi/4$，90° 是 $\pi/2$。切換結果的單位，即可取得符合你問題所需的形式。

二維與三維

這條公式在二維與三維中完全相同——改變的只是分量乘積的個數。處理平面二維問題時，把兩個 z 分量都保持為 0；內積、長度與夾角的結果，會與從一開始就沒有 z 項時完全一樣。

應用之處

• 物理：力所做的功取決於力與位移之間的夾角，$W = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$。
• 電腦圖學：表面法線與光線方向之間的夾角，決定表面被照亮的明暗程度。
• 導航與幾何：求兩個方向之間的航向差，或由邊向量求出圖形的頂角。
• 機器學習：特徵向量之間的餘弦相似度，正是這裡計算的夾角餘弦。