首頁 數學 二次方程式判別式計算機 產生日期: 2026年7月20日 下午09:34 二次方程式判別式計算機 公式 D = b^2 - 4ac 輸入 a（x² 的係數）1b（x 的係數）-5c（常數項）6 圖表 y = ax² + bx + c x（掃描值） y = ax² + bx + c 數學 二次方程式判別式計算機 計算判別式 D = b²−4ac。輸入係數 a、b、c，自動判斷根的性質：兩個相異實根、重根或兩個共軛複數根，並顯示 √|D|。 輸入 D = b^2 - 4ac a b c 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 判別式 D D = b² − 4ac。D > 0 為兩個相異實根，D = 0 為重根，D < 0 為兩個共軛複數根。 y = ax² + bx + c x（掃描值） y = ax² + bx + c 顯示逐步公式 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-19 判別式 判別式是二次方程式 ax² + bx + c = 0 的重要指標，定義為 D = b² − 4ac。它能在不解方程式的情況下，直接判斷根的性質。只要看 D 的正負號，就能知道方程式有兩個相異實根、重根，還是兩個複數根。這是高中數學的核心概念，也是學測、指考中常見的考題。 計算步驟 計算中間係數的平方：b² 計算頭尾係數之積的四倍：4 × a × c 相減：D = b² − 4ac 不需要開根號或計算分數，三個基本運算即可得出結果。D 的符號直接決定根的類型。 判別式符號與根的性質 判別式根的性質拋物線形狀D > 0兩個相異實根與 x 軸有兩個交點D = 0重根（實數）與 x 軸相切於頂點D < 0兩個共軛複數根完全在 x 軸上方或下方 當 D = 0 時，拋物線頂點恰好落在 x 軸上，唯一的實數根為 x = −b / (2a)。 計算範例 範例一 — D > 0（兩個相異實根） 方程式： x² − 5x + 6 = 0（a = 1、b = −5、c = 6） 計算： b² = 25，4ac = 24，D = 25 − 24 = 1 D = 1 > 0，方程式有兩個相異實根。代入公式解得 x = 2 及 x = 3，即拋物線 y = x² − 5x + 6 與 x 軸的兩個交點。 範例二 — D = 0（重根） 方程式： x² − 6x + 9 = 0（a = 1、b = −6、c = 9） 計算： b² = 36，4ac = 36，D = 36 − 36 = 0 重根為 x = −(−6) / (2 × 1) = 3。此方程式可因式分解為 (x − 3)² = 0，拋物線頂點位於 x = 3，恰好與 x 軸相切。 範例三 — D < 0（複數根） 方程式： x² + x + 1 = 0（a = 1、b = 1、c = 1） 計算： b² = 1，4ac = 4，D = 1 − 4 = −3 D = −3 < 0，方程式沒有實數根。兩個共軛複數根為 x=(−1±3 i)/2≈−0.5±0.866ix = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0.5 \pm 0.866i。本計算機所顯示的 ∣D∣=3≈1.732\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1.732，即虛部的絕對值。 與公式解的關係 公式解為： x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 根號下的值就是判別式 D： D > 0 時，D\sqrt{D} 為正實數，± 項給出兩個相異實根。 D = 0 時，D=0\sqrt{D} = 0，± 項消失，只剩一個重根。 D < 0 時，D\sqrt{D} 為虛數，公式解得出兩個共軛複數根。 先計算 D，可在求根之前確認屬於哪一種情況，省去不必要的計算。 特殊情況：a = 0 若 a = 0，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0。此時 D = b² − 4ac 仍可算出數值（即 b²），但這個值對二次方程式的判別沒有意義。本計算機要求 a ≠ 0，若輸入 a = 0 將顯示錯誤訊息。一次方程式的解為 x = −c / b（b ≠ 0 時）。 常見問題（FAQ）判別式有什麼用途？判別式 D = b² − 4ac 可以在不解方程式的情況下，直接判斷 ax² + bx + c = 0 的根的性質。D > 0 表示拋物線 y = ax² + bx + c 與 x 軸有兩個交點，方程式有兩個相異實根；D = 0 表示拋物線與 x 軸相切於頂點，有重根；D < 0 表示拋物線完全在 x 軸上方或下方，根為複數。判別式正是公式解根號下的值，決定了根的類型。 判別式為負數代表什麼？當 D = b² − 4ac < 0 時，√D 為虛數，方程式沒有實數根。兩個根為共軛複數 α ± βi，其中 α = −b / (2a)、β = √|D| / (2a)。只要係數 a、b、c 都是實數，複數根必定成共軛對出現。幾何上，拋物線完全位於 x 軸的上方或下方，不與 x 軸相交。 判別式和公式解有什麼關係？公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 中，根號下的值就是判別式 D。D > 0 時，√D 為正實數，± 產生兩個相異實根。D = 0 時，√D = 0，± 消失，只剩一個重根 x = −b / (2a)。D < 0 時，√D 為虛數，公式解給出兩個共軛複數根。先計算判別式，可在求根之前確認屬於哪種情況，省去不必要的計算步驟。 a 等於零的話怎麼辦？若 a = 0，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0。此時 D = b² − 4ac 仍可計算出一個數值，但這個值對二次方程式的判別沒有意義。本計算機要求 a ≠ 0，輸入 a = 0 時會顯示錯誤訊息。一次方程式的解為 x = −c / b（b ≠ 0 時）。 推薦的下一個 二次方程式求解器 求解 ax² + bx + c = 0。輸入三個係數，即可得到判別式及兩個根——實數根或複數根。 深入了解畢氏定理計算機 利用畢氏定理（a² + b² = c²）計算直角三角形的任意一邊。輸入任意兩邊，即可求出第三邊。 深入了解百分比計算機 提供三種百分比計算方式：求某數的百分比值、計算一個數佔另一個數的百分比，或由部分值與百分比反推總量。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多代數 2×2 反矩陣計算器2×2 特徵值與特徵向量計算器一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器 +16 more Show less 二項式定理 — 展開 (a + b)ⁿ三元一次聯立方程式求解（克拉瑪公式）三次方程式求解器多項式求值（霍納法）多項式定積分計算機多項式導數計算機行列式計算機（2×2 與 3×3）辛普森法則計算器指數成長與衰減計算器矩陣乘法計算配方法計算機高斯消去法計算機（3×3）梯形法則計算器部分分式分解計算器絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）複數計算器 其他數學計算機 平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式拋物線焦點與準線計算器直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機菱形面積計算器黃金比例計算器圓弓形計算機圓方程式計算器圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機橢圓焦點計算器環形面積計算機點到直線距離計算機雙曲線計算器立體幾何 半球體積與表面積計算四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線角錐台體積計算空間中兩點間距離（3D）長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機橢球體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）向量投影計算機兩向量夾角計算器極座標 ⇄ 直角座標轉換器餘弦定理計算機點積計算統計 加權平均計算機卡方適合度檢定卡方獨立性檢定平均絕對偏差計算器平均數、中位數與眾數計算機平均數的標準誤平均數樣本數計算機母體比例信賴區間計算機皮爾森相關係數計算機共變異數計算器百分比誤差計算機百分位數與四分位數計算機貝氏定理計算機兩比例 z 檢定信賴區間計算機柯恩 d 值計算器相對風險計算機益一需治數（NNT）計算器勝算比計算機單因子變異數分析工具單樣本 t 檢定計算器幾何平均數計算描述統計計算機誤差界限計算機樣本數計算機（比例）線性迴歸計算機調和平均數計算器雙樣本 t 檢定計算機（Welch）離群值計算器（IQR 法）變異係數計算機變異數與標準差計算機Z 分數轉 P 值計算機Z分數計算機機率 二項分布機率計算機卜瓦松分配計算均勻分布計算器指數分布計算器負二項分布計算器常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)幾何分配計算機期望值計算機階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 巴斯卡三角形平均變化率計算機等比數列計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 次方計算科學記數法轉換器第 n 次方根計算最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機數字捨入計算機模運算計算機歐拉函數計算機質因數分解計算機質數判斷器整除性規則查驗器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-19 判別式 判別式是二次方程式 ax² + bx + c = 0 的重要指標，定義為 D = b² − 4ac。它能在不解方程式的情況下，直接判斷根的性質。只要看 D 的正負號，就能知道方程式有兩個相異實根、重根，還是兩個複數根。這是高中數學的核心概念，也是學測、指考中常見的考題。 計算步驟 計算中間係數的平方：b² 計算頭尾係數之積的四倍：4 × a × c 相減：D = b² − 4ac 不需要開根號或計算分數，三個基本運算即可得出結果。D 的符號直接決定根的類型。 判別式符號與根的性質 判別式根的性質拋物線形狀D > 0兩個相異實根與 x 軸有兩個交點D = 0重根（實數）與 x 軸相切於頂點D < 0兩個共軛複數根完全在 x 軸上方或下方 當 D = 0 時，拋物線頂點恰好落在 x 軸上，唯一的實數根為 x = −b / (2a)。 計算範例 範例一 — D > 0（兩個相異實根） 方程式： x² − 5x + 6 = 0（a = 1、b = −5、c = 6） 計算： b² = 25，4ac = 24，D = 25 − 24 = 1 D = 1 > 0，方程式有兩個相異實根。代入公式解得 x = 2 及 x = 3，即拋物線 y = x² − 5x + 6 與 x 軸的兩個交點。 範例二 — D = 0（重根） 方程式： x² − 6x + 9 = 0（a = 1、b = −6、c = 9） 計算： b² = 36，4ac = 36，D = 36 − 36 = 0 重根為 x = −(−6) / (2 × 1) = 3。此方程式可因式分解為 (x − 3)² = 0，拋物線頂點位於 x = 3，恰好與 x 軸相切。 範例三 — D < 0（複數根） 方程式： x² + x + 1 = 0（a = 1、b = 1、c = 1） 計算： b² = 1，4ac = 4，D = 1 − 4 = −3 D = −3 < 0，方程式沒有實數根。兩個共軛複數根為 x=(−1±3 i)/2≈−0.5±0.866ix = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0.5 \pm 0.866i。本計算機所顯示的 ∣D∣=3≈1.732\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1.732，即虛部的絕對值。 與公式解的關係 公式解為： x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 根號下的值就是判別式 D： D > 0 時，D\sqrt{D} 為正實數，± 項給出兩個相異實根。 D = 0 時，D=0\sqrt{D} = 0，± 項消失，只剩一個重根。 D < 0 時，D\sqrt{D} 為虛數，公式解得出兩個共軛複數根。 先計算 D，可在求根之前確認屬於哪一種情況，省去不必要的計算。 特殊情況：a = 0 若 a = 0，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0。此時 D = b² − 4ac 仍可算出數值（即 b²），但這個值對二次方程式的判別沒有意義。本計算機要求 a ≠ 0，若輸入 a = 0 將顯示錯誤訊息。一次方程式的解為 x = −c / b（b ≠ 0 時）。 常見問題（FAQ）判別式有什麼用途？判別式 D = b² − 4ac 可以在不解方程式的情況下，直接判斷 ax² + bx + c = 0 的根的性質。D > 0 表示拋物線 y = ax² + bx + c 與 x 軸有兩個交點，方程式有兩個相異實根；D = 0 表示拋物線與 x 軸相切於頂點，有重根；D < 0 表示拋物線完全在 x 軸上方或下方，根為複數。判別式正是公式解根號下的值，決定了根的類型。 判別式為負數代表什麼？當 D = b² − 4ac < 0 時，√D 為虛數，方程式沒有實數根。兩個根為共軛複數 α ± βi，其中 α = −b / (2a)、β = √|D| / (2a)。只要係數 a、b、c 都是實數，複數根必定成共軛對出現。幾何上，拋物線完全位於 x 軸的上方或下方，不與 x 軸相交。 判別式和公式解有什麼關係？公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 中，根號下的值就是判別式 D。D > 0 時，√D 為正實數，± 產生兩個相異實根。D = 0 時，√D = 0，± 消失，只剩一個重根 x = −b / (2a)。D < 0 時，√D 為虛數，公式解給出兩個共軛複數根。先計算判別式，可在求根之前確認屬於哪種情況，省去不必要的計算步驟。 a 等於零的話怎麼辦？若 a = 0，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0。此時 D = b² − 4ac 仍可計算出一個數值，但這個值對二次方程式的判別沒有意義。本計算機要求 a ≠ 0，輸入 a = 0 時會顯示錯誤訊息。一次方程式的解為 x = −c / b（b ≠ 0 時）。
