二次方程式判別式計算機
計算判別式 D = b²−4ac。輸入係數 a、b、c，自動判斷根的性質：兩個相異實根、重根或兩個共軛複數根，並顯示 √|D|。
輸入
結果
判別式
判別式是二次方程式 ax² + bx + c = 0 的重要指標，定義為 D = b² − 4ac。它能在不解方程式的情況下，直接判斷根的性質。只要看 D 的正負號，就能知道方程式有兩個相異實根、重根，還是兩個複數根。這是高中數學的核心概念，也是學測、指考中常見的考題。
計算步驟
- 計算中間係數的平方：b²
- 計算頭尾係數之積的四倍：4 × a × c
- 相減：D = b² − 4ac
不需要開根號或計算分數，三個基本運算即可得出結果。D 的符號直接決定根的類型。
判別式符號與根的性質
| 判別式 | 根的性質 | 拋物線形狀 |
|---|---|---|
| D > 0 | 兩個相異實根 | 與 x 軸有兩個交點 |
| D = 0 | 重根（實數） | 與 x 軸相切於頂點 |
| D < 0 | 兩個共軛複數根 | 完全在 x 軸上方或下方 |
當 D = 0 時，拋物線頂點恰好落在 x 軸上，唯一的實數根為 x = −b / (2a)。
計算範例
範例一 — D > 0（兩個相異實根）
方程式： x² − 5x + 6 = 0（a = 1、b = −5、c = 6）
計算： b² = 25，4ac = 24，D = 25 − 24 = 1
D = 1 > 0，方程式有兩個相異實根。代入公式解得 x = 2 及 x = 3，即拋物線 y = x² − 5x + 6 與 x 軸的兩個交點。
範例二 — D = 0（重根）
方程式： x² − 6x + 9 = 0（a = 1、b = −6、c = 9）
計算： b² = 36，4ac = 36，D = 36 − 36 = 0
重根為 x = −(−6) / (2 × 1) = 3。此方程式可因式分解為 (x − 3)² = 0，拋物線頂點位於 x = 3，恰好與 x 軸相切。
範例三 — D < 0（複數根）
方程式： x² + x + 1 = 0（a = 1、b = 1、c = 1）
計算： b² = 1，4ac = 4，D = 1 − 4 = −3
D = −3 < 0，方程式沒有實數根。兩個共軛複數根為 。本計算機所顯示的 ，即虛部的絕對值。
與公式解的關係
公式解為：
根號下的值就是判別式 D：
- D > 0 時， 為正實數，± 項給出兩個相異實根。
- D = 0 時，，± 項消失，只剩一個重根。
- D < 0 時， 為虛數，公式解得出兩個共軛複數根。
先計算 D，可在求根之前確認屬於哪一種情況，省去不必要的計算。
特殊情況：a = 0
若 a = 0，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0。此時 D = b² − 4ac 仍可算出數值（即 b²），但這個值對二次方程式的判別沒有意義。本計算機要求 a ≠ 0，若輸入 a = 0 將顯示錯誤訊息。一次方程式的解為 x = −c / b（b ≠ 0 時）。
常見問題（FAQ）
判別式有什麼用途？
判別式 D = b² − 4ac 可以在不解方程式的情況下，直接判斷 ax² + bx + c = 0 的根的性質。D > 0 表示拋物線 y = ax² + bx + c 與 x 軸有兩個交點，方程式有兩個相異實根；D = 0 表示拋物線與 x 軸相切於頂點，有重根；D < 0 表示拋物線完全在 x 軸上方或下方，根為複數。判別式正是公式解根號下的值，決定了根的類型。
判別式為負數代表什麼？
當 D = b² − 4ac < 0 時，√D 為虛數，方程式沒有實數根。兩個根為共軛複數 α ± βi，其中 α = −b / (2a)、β = √|D| / (2a)。只要係數 a、b、c 都是實數，複數根必定成共軛對出現。幾何上，拋物線完全位於 x 軸的上方或下方，不與 x 軸相交。
判別式和公式解有什麼關係？
公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 中，根號下的值就是判別式 D。D > 0 時，√D 為正實數，± 產生兩個相異實根。D = 0 時，√D = 0，± 消失，只剩一個重根 x = −b / (2a)。D < 0 時，√D 為虛數，公式解給出兩個共軛複數根。先計算判別式，可在求根之前確認屬於哪種情況，省去不必要的計算步驟。
a 等於零的話怎麼辦？
若 a = 0，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0。此時 D = b² − 4ac 仍可計算出一個數值，但這個值對二次方程式的判別沒有意義。本計算機要求 a ≠ 0，輸入 a = 0 時會顯示錯誤訊息。一次方程式的解為 x = −c / b（b ≠ 0 時）。