最後更新：2026-05-18

定義

等腰直角三角形有兩個 45° 的角和一個 90° 的直角。兩條直角邊（股）長度相等，使它成為等腰三角形；直角的存在使它同時也是直角三角形。三邊之比為幾何中最常見的特殊三角形邊長比之一：

$1 \mathbin{:} 1 \mathbin{:} \sqrt{2}$

30-60-90 三角形的對應比為 $1 \mathbin{:} \sqrt{3} \mathbin{:} 2$。

與正方形的關係

沿對角線切割邊長為 $l$ 的正方形，可得到兩個全等的等腰直角三角形。每條直角邊等於正方形的邊長，斜邊等於正方形的對角線長。這正是 $\sqrt{2}$ 在幾何中頻繁出現的原因——它就是正方形「對角線與邊長之比」。

公式

設 $l$ 為直角邊長。

求解量	公式
斜邊 $c$	$l\sqrt{2}$
面積 $S$	$l^2 / 2$
周長 $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

已知條件	直角邊 $l$	斜邊 $c$	面積 $S$
由直角邊 $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
由斜邊 $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
由面積 $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

計算範例

當 $l = 5$：

$c = 5\sqrt{2} \approx 7.071, \quad S = \frac{25}{2} = 12.5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17.07$

公式推導

斜邊： 對兩條等長直角邊 $l$ 應用畢氏定理：

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

面積： 底和高均為 $l$（兩直角邊互相垂直）：

$S = \frac{1}{2} \times l \times l = \frac{l^2}{2}$

由斜邊反推： $l = c/\sqrt{2}$，代入得 $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$。

由面積反推： $S = l^2/2$ 解出 $l = \sqrt{2S}$，再得 $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$。

延伸性質

• 等腰直角三角形是唯一同時滿足等腰與直角條件的三角形。
• 外接圓半徑：$R = c/2$（直角為直徑所對的圓周角）。
• 內切圓半徑：$r = l(2-\sqrt{2})/2$。

常見問題（FAQ）

45-45-90 三角形的三邊比例是多少？

等腰直角三角形有兩條相等的直角邊與一條斜邊，三邊比為直角邊：直角邊：斜邊 = 1：1：√2。若每條直角邊長為 l，則斜邊為 l√2 ≈ 1.414l。例如直角邊為 5 時，斜邊為 5√2 ≈ 7.071。這個三角形在正方形中自然出現：沿對角線將正方形切成兩半，每半即為一個等腰直角三角形。

已知直角邊，如何求等腰直角三角形的斜邊？

利用畢氏定理：c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2。當 l = 5 時，c = 5√2 ≈ 7.071。面積為 S = l²/2（底和高均為 l），周長為 P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3.414l。

已知斜邊，如何求等腰直角三角形的直角邊？

由 l√2 = c 可得 l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2。當 c = 10 時，l = 10 ÷ √2 ≈ 7.071。面積為 S = c²/4（因為 S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4），周長為 P = c(1 + √2) ≈ 2.414c。