最後更新：2026-06-04

定義

點積（dot product），又稱純量積（scalar product）或內積（inner product），是對兩個相同維度的向量所定義的一種二元運算，運算結果為純量。給定 n 維向量 a = (a₁, a₂, …, aₙ) 與 b = (b₁, b₂, …, bₙ)，其點積定義為：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$

此代數定義可直接由各分量計算，是線性代數課程中最基本的運算之一。

幾何意義

點積與兩向量之間夾角 θ 的關係，由以下幾何定義給出：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$

其中 |a| 與 |b| 分別為兩向量的模（歐氏長度）。此式揭示點積符號所反映的幾何關係：

• 正值（θ < 90°）：兩向量夾角為銳角，方向趨於一致
• 零（θ = 90°）：兩向量互相垂直，即正交
• 負值（θ > 90°）：兩向量夾角為鈍角，方向趨於相反

從投影的觀點來看，a · b 等於 |a| 乘以 b 在 a 方向上的純量投影，反之亦然。

夾角公式

由幾何定義整理，可得兩向量夾角的計算式：

$$\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)$$

arccos 的值域為 [0°, 180°]，因此無論向量在多少維度，此公式均能給出唯一的夾角值。

計算範例

以 a = (1, 2, 3) 與 b = (4, 5, 6) 為例：

步驟一：計算點積

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32$$

步驟二：計算各向量的模

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \approx 3.7417$$ $$|\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77} \approx 8.7750$$

步驟三：求夾角

$$\cos\theta = \frac{32}{\sqrt{14} \times \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}} \approx 0.9746$$ $$\theta = \arccos(0.9746) \approx 12.93°$$

兩向量夾角甚小，方向高度一致，符合兩組分量均依序遞增的直覺。

正交性

當兩向量的點積等於零時，稱為正交（orthogonal），即幾何上的垂直關係。正交並不侷限於二維或三維空間——在任意維度中，只要 a · b = 0，兩向量即互相正交。

常見的正交例子：

• 標準基底向量 (1, 0, 0) 與 (0, 1, 0) 的點積為零
• 二維向量 (3, 4) 與 (−4, 3) 的點積：(3)(−4) + (4)(3) = 0

正交性在多個領域中具有核心地位：傅立葉分析中的基底函數兩兩正交、量子力學中的本征態正交、機器學習中的特徵獨立性，均以此概念為基礎。

向量投影

點積最常見的應用之一是計算向量投影。a 在 b 方向上的純量投影（scalar projection）為：

$$\text{proj}_{\mathbf{b}} a = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$$

對應的向量投影（vector projection）——方向與 b 相同，長度等於上述純量投影的向量——為：

$$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}$$

以 a = (5, 3)、b = (1, 0) 為例，純量投影為 5，向量投影為 (5, 0)，即 a 的水平分量。

與外積的關係

在三維空間中，點積與外積（cross product）共同描述兩向量的完整幾何關係：

• 點積 a · b = |a||b|cos θ——捕捉兩向量的對齊程度，結果為純量
• 外積 |a × b| = |a||b|sin θ——捕捉兩向量的垂直程度，等於兩向量張成之平行四邊形的面積，結果為向量

兩者合用，可完整刻畫任意兩個三維向量之間的角度與面積關係。

應用

點積廣泛出現於科學與工程各領域：

• 功（物理學）：W = F · d，力向量與位移向量的點積
• 三維繪圖的光照計算：表面亮度正比於法向量與光線方向向量的點積
• 餘弦相似度（文字分析、推薦系統）：衡量兩份文件或偏好向量的方向相近程度
• 最小平方法：法方程組透過令殘差向量與基底向量的點積為零，求得最佳擬合解
• 格拉姆—施密特正交化：利用連續投影，從任意一組向量建構正交基底

如需計算外積，可使用向量外積計算機（三維）進一步了解三維空間的向量運算。

常見問題（FAQ）

點積的幾何意義是什麼？

點積 a · b = |a| |b| cos θ 衡量兩個向量在方向上的一致程度。當 θ = 0°（兩向量同向）時，點積等於兩模之積，為最大值；當 θ = 90°（兩向量垂直）時，點積為零；當 θ > 90° 時，點積為負，表示兩向量趨向相反方向。從幾何上看，a · b 等於 |a| 乘以 b 在 a 方向上的純量投影。

點積在什麼情況下等於零？

當兩向量夾角 θ = 90° 時，cos θ = 0，點積即為零，此時兩向量正交（互相垂直）。若其中一個為零向量，無論方向為何，點積也等於零。在實際應用中，點積為零代表兩個方向、力或基底完全獨立——例如笛卡兒座標系的 x 軸單位向量與 y 軸單位向量，其點積恰為零。

如何利用點積計算兩向量的夾角？

由幾何定義整理可得 θ = arccos(a · b ÷ (|a| |b|))。步驟如下：①計算點積；②除以兩向量模之積，得到 cos θ（值域為 [−1, 1]）；③取反餘弦，即得夾角，結果落在 [0°, 180°] 之間。以二維向量 a = (3, 4)、b = (0, 5) 為例：點積 = 20，|a| = 5，|b| = 5，cos θ = 20 ÷ 25 = 0.8，θ = arccos(0.8) ≈ 36.87°。

如何計算向量 a 在向量 b 上的投影？

向量 a 在 b 方向上的純量投影（即 a 沿 b 方向的分量長度）為 a · b ÷ |b|；對應的向量投影（方向與 b 相同、長度等於純量投影的向量）為 (a · b ÷ |b|²) × b。例如，a = (3, 4)、b = (1, 0)，純量投影為 3，向量投影為 (3, 0)。投影在最小平方擬合、三維繪圖的光影計算，以及將力分解為各方向分量等方面均有廣泛應用。