最後更新：2026-05-21

三角形：幾何學中最簡單的多邊形

三角形是具有三條邊和三個角的多邊形，是二維幾何學中最簡單的封閉圖形。本計算機提供四種方法：底邊與高、海龍公式（三邊）、SAS（兩邊夾角）以及 ASA（一邊兩角）。

底邊與高的計算方法

最直接的公式為：

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

其中 $b$ 是所選底邊的長度，$h$ 是垂直高度——從底邊到對面頂點的垂直距離。

此公式適用於所有三角形類型：

• 銳角三角形：高的垂足落在底邊內部。
• 直角三角形：其中一直角邊為底邊，另一直角邊為高。
• 鈍角三角形：高的垂足落在底邊延長線上，但公式依然成立。

因數 ½ 的由來

三角形恰好是底邊和高相同的平行四邊形的一半。將三角形複製一份，旋轉 180° 後拼接，可得面積為 $b \times h$ 的平行四邊形。因此三角形的面積為 $\frac{b \times h}{2}$。

海龍公式

當只知道三邊長度，而不知道高度或角度時，可直接用海龍公式求面積：

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

此處 $s$ 為半周長（周長的一半）。此公式源自亞歷山大的海龍（約西元 60 年）。

計算範例：3-4-5 直角三角形

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

用底邊乘以高驗算：兩直角邊 3 和 4 互相垂直，所以 $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$。兩種方法結果相同。

SAS：兩邊夾角

已知兩邊 $p$、$q$ 及其夾角 $C$ 時，面積為：

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

由底邊與高的公式推導：以 $p$ 為底邊，則高等於 $q \sin C$（$q$ 在 $p$ 上的垂直分量）。

例： $p = 5$，$q = 7$，$C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16$

當 $C = 90°$ 時，$\sin 90° = 1$，公式化簡為直角三角形面積 $\frac{1}{2} p q$。

ASA：一邊兩角

已知邊 $c$ 及其兩端角 $A$、$B$ 時，面積為：

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

利用正弦定理將另外兩邊以 $c$ 表示，代入 SAS 公式推導而得。第三角為 $C = 180° - A - B$。

例： $c = 8$，$A = 50°$，$B = 60°$（即 $C = 70°$）

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22.6$

三角不等式

並非任意三個正數都能構成三角形。三個長度 $a$、$b$、$c$ 構成有效三角形，當且僅當：

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

若其中任一條件不成立，則無法構成三角形。在海龍公式中，違反此條件會使根號內出現負數，表示輸入在幾何上不可能成立。

邊長	有效？	原因
3, 4, 5	是	3+4=7 > 5 ✓
1, 2, 10	否	1+2=3 < 10 ✗
5, 5, 5	是	等邊三角形 ✓

現實應用

建築與土木工程。三角形桁架是屋頂、橋梁與吊車的骨架，因為三角形是唯一在承受荷載時不會變形的多邊形。

測量。土地測量員量測地塊的三條邊，用海龍公式計算面積，不需要另立垂線。

電腦圖形。所有 3D 表面都由三角形網格逼近。GPU 透過計算三角形面積來處理光照、陰影和碰撞偵測。

導航。三角測量利用三個已知參考點的距離來確定未知位置。

若三角形為直角三角形，可先用 畢氏定理計算機 求出缺失邊長再計算面積。其他相關圖形可參閱 圓形面積與周長計算機 與 正多邊形計算機。

常見問題（FAQ）

三角形面積的公式是什麼？

最常用的公式為 A = ½ × 底邊 × 高，其中高是從底邊到對頂點的垂直距離。只要知道底邊及其對應的高，此公式適用於任何三角形。

什麼是海龍公式？

海龍公式可以在不知道高的情況下，由三邊長 a、b、c 求出面積。先計算半周長 s = (a + b + c) ÷ 2，再代入 A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))。以 3-4-5 直角三角形為例：s = 6，A = 6。

何時三個長度無法構成三角形？

三個長度能構成有效三角形，必須滿足任意兩邊之和大於第三邊（三角不等式）。邊長 1、2、10 不成立，因為 1 + 2 = 3 < 10，海龍公式的根號內會出現負值。

如何用兩邊夾角求面積？

知道兩邊 p、q 及夾角 C 時，面積 = ½ × p × q × sin(C)。例：p = 5，q = 7，C = 60° → A = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15.16。這是因為三角形的高等於 q × sin(C)。

如何用一邊兩角求面積？

知道邊 c 及其兩端角 A、B 時（C = 180° − A − B），面積 = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A + B))。例：c = 8，A = 50°，B = 60° → A = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22.6。