正多邊形計算機

最後更新：2026-05-18

定義

正多邊形是所有邊長相等、所有內角相等的多邊形。正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形都是常見例子。只要知道邊數 n 和邊長 a，其餘所有幾何量都可由三角函數精確求出。

本計算機一次輸出周長、面積、內角、外角、內切圓半徑（邊心距）與外接圓半徑。

公式

周長：

$P = n \cdot a$

內角（每個頂點處的角度）：

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

外角（內角的補角，總和恆為 360°）：

$\beta = \frac{360°}{n}$

內切圓半徑（邊心距）— 圓心至各邊中點的垂直距離：

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

外接圓半徑 — 圓心至各頂點的距離：

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

面積：

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

常見正多邊形的內角

邊數	名稱	內角
3	正三角形	60°
4	正方形	90°
5	正五邊形	108°
6	正六邊形	120°
8	正八邊形	135°
12	正十二邊形	150°

計算範例

題目： 一片邊長 8 cm 的正六邊形磁磚，求其面積、邊心距及外接圓半徑。

n = 6，a = 8 cm：

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} \approx 6.928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166.3 \text{ cm}^2$

正六邊形有個特殊性質：外接圓半徑等於邊長（$R = a$）。蜂巢以正六邊形構成，正因這種高度對稱性使六邊形能以最少材料圍出最大空間。

常見問題（FAQ）

正多邊形的面積公式為何？

邊數為 n、邊長為 a 的正多邊形，面積公式為 A = (n·a²) / (4·tan(π/n))。以邊長 10 cm 的正六邊形（n=6）為例：A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0.5774) ≈ 259.8 cm²。利用邊心距（內切圓半徑）的等價公式為 A = ½ × 周長 × 邊心距 = ½ × n·a · r。

如何求正多邊形的內角？

正 n 邊形的內角公式為 α = (n − 2) × 180° / n。正三角形（n=3）為 60°、正方形（n=4）為 90°、正五邊形（n=5）為 108°、正六邊形（n=6）為 120°。外角是內角的補角，恆等於 360°/n。所有內角之和為 (n−2) × 180°。

正多邊形的邊心距是什麼？

邊心距（又稱內切圓半徑，英文為 apothem）是多邊形中心到任一邊中點的垂直距離。邊長為 a 的正 n 邊形，邊心距為 r = a / (2·tan(π/n))。它可用於計算面積：A = ½ × 周長 × 邊心距。邊心距也是最大內切圓的半徑。相較之下，外接圓半徑 R = a / (2·sin(π/n))，表示中心到任一頂點的距離。