平均數樣本數計算機

信賴水準

95%

標準差

誤差界限

最後更新：2026-06-23

樣本數對平均數為何重要

當調查或實驗旨在估計某項平均數，例如平均等候時間、平均血壓、平均家庭支出，樣本數便決定該估計值能有多精確。受測者太少，信賴區間會寬到結果幾無意義；太多則使研究浪費時間與經費。事先規劃樣本數，可在收集任何一筆觀測值之前就固定所要的精確度。

估計母體平均數所需的樣本數，可直接由信賴區間的寬度推得：

n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2

各項意義淺白：

精確度隨誤差界限的平方而收緊：將誤差界限減半，樣本數增為四倍。同理，離散程度 $\sigma$ 加倍亦使樣本數增為四倍；由 95% 提高至 99% 信賴水準，臨界值由 1.96 升至 2.576，所需樣本數約增為 1.7 倍。

公式需要標準差，然而 $\sigma$ 在研究進行前幾乎從不可知。下列三種實用估計法涵蓋多數情形：

前導研究。 收集一小批觀測值，以其樣本標準差作為 $\sigma$ 的替代值。
過往資料。 沿用先前研究或已發表統計中針對相近母體所報告的標準差。
全距法則。 在僅知最小與最大合理值時，以 $\sigma \approx (\text{max} - \text{min}) / 4$ 近似，因為大致常態的全距約跨越四個標準差。

採用略為保守（較大）的估計值是安全的選擇：它使樣本數提高，而非令研究檢定力不足。

假設欲在 95% 信賴水準下將平均數估計於 ±2 單位之內，且過往資料顯示標準差約為 15。臨界值取 1.96、 $\sigma = 15$ 、誤差界限為 2：

\begin{aligned} n &= \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2 \\ &= \left(\frac{1.96 \times 15}{2}\right)^2 \\ &= (14.7)^2 \\ &= 216.09 \\ &\Rightarrow 217 \end{aligned}

精確公式回傳 216.09，但無法調查零點幾位受測者，且無條件捨去會使誤差界限略寬於要求。結果一律無條件進位，此處進為 217 筆觀測值。

上述公式採用常態值 $z$ ，這是樣本數規劃的標準慣例。有兩點須留意。

小樣本與未知 σ。 $z$ 值假設樣本為大樣本。當最終資料集偏小（約三十以下）且 $\sigma$ 由資料估得時，分析本身應改用較寬的 $t$ 分布而非 $z$ 。但在規劃階段，因尚不知 $n$ ， $z$ 仍是常見的起點；一旦 $n$ 足夠大， $z$ 與 $t$ 之間的差距即可忽略。

有限母體。 基本公式假設由實質無限大的母體抽樣。若樣本占大小為 $N$ 的小型有限母體的相當比例，則應套用有限母體校正，以降低所需樣本數：

n_{\text{adj}} = \frac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}

若所估計者為比例而非平均數，規劃公式的形式會有所不同，可參見樣本數計算機（比例）。若欲反向運算，由既有樣本求出隱含的誤差界限，則使用誤差界限計算機。

如何估計標準差（σ）？

σ 事前少有已知，故須在收集資料前先行估計。常見作法：(1) 進行小型前導研究，採用其樣本標準差；(2) 沿用過往研究或已發表統計中針對相近母體所報告的標準差；(3) 在僅知數值合理範圍時，套用全距法則 σ ≈ (max − min) / 4。

採用較保守（略大）的估計值較為安全，會偏向得到較大的樣本，而非檢定力不足的研究。

應選擇哪一個信賴水準？

95% 是多數領域的標準預設值，能在精確度與成本之間取得平衡。若可接受略高的錯失真實平均數風險且希望樣本較小，可選 90%。對臨床、安全或法規等高風險工作，需要更強保證者，則選 99%，但須接受樣本數因 z 值由 1.96 升至 2.576 而大幅增加。

規劃樣本數時應使用 z 還是 t？

本計算機採用常態（z）值，這是規劃平均數樣本數的標準慣例。t 分布在小樣本下比 z 寬，但規劃時尚不知樣本數，故以 z 為基礎的估計是常見的起點。

一旦 n 足夠大（約 30 以上），z 與 t 之間的差異即可忽略。針對 σ 未知的小樣本所做的最終分析，則應使用以 t 為基礎的信賴區間。

樣本數為何一律無條件進位？

公式通常回傳含小數的數值，但無法調查零點幾位受測者。無條件捨去會使誤差界限略寬於要求，因此結果一律無條件進位至下一個整數，以保證所要求的精確度。這便是精確值 216.09 之所以成為所需樣本 217 的原因。