最後更新：2026-05-19

餘弦定理的定義

餘弦定理將三角形的三邊與其中一個角的餘弦值相連結。對於邊長為 a、b、c 且角 C 為邊 c 對角的三角形，公式如下：

c² = a² + b² − 2ab cos C

這一個方程式可以解決三角形計算的兩種典型情況：

• SAS（邊角邊）： 已知兩邊及其夾角，用餘弦定理求第三邊。

• SSS（三邊已知）： 已知三邊，將公式改寫三次即可求出三個角度：

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

如何使用本計算機

SAS 模式 — 選擇「SAS — 求邊 c」，輸入邊 a、b 及其夾角 C（度數）。計算機返回邊 c。

SSS 模式 — 選擇「SSS — 求各角度」，輸入三邊 a、b、c。計算機以度數返回三個角度 A、B、C。

計算範例：SAS

測量員測量一塊三角形土地，兩條邊界分別為 83 m 和 112 m，夾角為 54°。第三條邊界長度為何？

• a = 83，b = 112，C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6,889 + 12,544 − 18,592 × 0.5878
• c² ≈ 8,502
• c ≈ 92.2 m

計算範例：SSS

一個三角形花園的三邊分別為 5 m、7 m 和 6 m。各頂點角度為何？

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1°

驗算：44.4° + 78.5° + 57.1° = 180°。✓

公式的推導：與畢氏定理的關係

畢氏定理計算機 （c² = a² + b²）是餘弦定理的特殊情況。當角 C 恰好為 90° 時，cos 90° = 0，「2ab cos C」項消失，留下 c² = a² + b²。

對其他角度：

• C < 90°（銳角）：cos C > 0，減去的項使 c 變短。
• C > 90°（鈍角）：cos C < 0，項變為加法，c 比直角情況更長。

這種幾何直覺直接來自向量內積的定義，衡量一個向量在另一個向量上的投影量。

餘弦定理 vs. 正弦定理

已知條件	使用公式
兩邊 + 夾角（SAS）	餘弦定理
三邊（SSS）	餘弦定理
兩角 + 一邊（AAS / ASA）	正弦定理
兩邊 + 非夾角（SSA）	正弦定理（注意模糊情況）

正弦定理在已有邊-對角對時計算較簡便。餘弦定理沒有模糊情況，對 SAS 和 SSS 始終給出唯一解。

三角不等式

三邊要構成三角形，每條邊必須小於另外兩邊之和。若不滿足此條件（如邊長為 1、2、10），反餘弦的引數會超出 [−1, 1]，計算機顯示錯誤。快速驗證：將三邊由小到大排列，確認最短兩邊之和大於最長邊。

常見問題（FAQ）

餘弦定理和畢氏定理有什麼關係？

餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C 是畢氏定理的推廣。當 C = 90° 時，cos 90° = 0，公式退化為 c² = a² + b²。銳角（C < 90°）時，2ab cos C 為正，c 較短；鈍角（C > 90°）時，cos C 為負，c 比直角情況更長。

什麼時候該用餘弦定理而不是正弦定理？

已知兩邊與夾角（SAS）或三邊（SSS）時，使用餘弦定理。正弦定理在已知一個邊-對角對時較為簡便，但在 SSA（兩邊與非夾角）情況下可能有兩個解（模糊情況）。餘弦定理不存在模糊情況，始終給出唯一解。

SAS 模式可以求出什麼？

輸入兩邊 a、b 及夾角 C，可求第三邊 c = √(a² + b² − 2ab cos C)。例如 a = 5、b = 7、C = 60°，c = √39 ≈ 6.245。得到三邊後，可切換至 SSS 模式求其餘角度。

三邊無法構成有效三角形時會怎樣？

三角不等式要求每邊均小於其他兩邊之和。若條件不滿足（如邊長為 1、2、10），反餘弦的引數會超出 [−1, 1] 範圍，計算機將顯示錯誤。快速驗證：將三邊由小到大排列，確認最短兩邊之和大於最長邊。