首頁 數學 餘弦定理計算機 餘弦定理計算機 輸入已知邊長與角度，依餘弦定理求三角形的未知邊（SAS）或三個角度（SSS），並顯示逐步計算過程。 列印 計算模式 SAS — 求邊 c SSS — 求各角度 輸入 標示邊 a、b、c 與角 A、B、C 的三角形一個三角形，底邊為 a，右邊為 b，左邊為 c，右下頂點為角 C，上頂點為角 A，左下頂點為角 B。ABCabcABC 邊 a 邊 b 夾角 C ° 0 – 180 ° 結果 邊 c a = 5b = 7C = 60^{\circ} 邊 c \begin{aligned} c &= \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C} \\ &= \sqrt{(5)^2 + (7)^2 - 2(5)(7)\cos(60)} \\ &= ? \end{aligned} 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-19 什麼是餘弦定理？ 餘弦定理將三角形的三邊與其中一個角的餘弦值相連結。對於邊長為 a、b、c 且角 C 為邊 c 對角的三角形，公式如下： c² = a² + b² − 2ab cos C 這一個方程式可以解決三角形計算的兩種典型情況： SAS（邊角邊）： 已知兩邊及其夾角，用餘弦定理求第三邊。 SSS（三邊已知）： 已知三邊，將公式改寫三次即可求出三個角度： A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)) B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)) C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab)) 如何使用本計算機 SAS 模式 — 選擇「SAS — 求邊 c」，輸入邊 a、b 及其夾角 C（度數）。計算機返回邊 c。 SSS 模式 — 選擇「SSS — 求各角度」，輸入三邊 a、b、c。計算機以度數返回三個角度 A、B、C。 計算範例：SAS 測量員測量一塊三角形土地，兩條邊界分別為 83 m 和 112 m，夾角為 54°。第三條邊界長度為何？ a = 83，b = 112，C = 54° c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54° c² = 6,889 + 12,544 − 18,592 × 0.5878 c² ≈ 8,502 c ≈ 92.2 m 計算範例：SSS 一個三角形花園的三邊分別為 5 m、7 m 和 6 m。各頂點角度為何？ A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4° B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5° C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1° 驗算：44.4° + 78.5° + 57.1° = 180°。✓ 公式的推導：與畢氏定理的關係 畢氏定理計算機 （c² = a² + b²）是餘弦定理的特殊情況。當角 C 恰好為 90° 時，cos 90° = 0，「2ab cos C」項消失，留下 c² = a² + b²。 對其他角度： C < 90°（銳角）：cos C > 0，減去的項使 c 變短。 C > 90°（鈍角）：cos C < 0，項變為加法，c 比直角情況更長。 這種幾何直覺直接來自向量內積的定義，衡量一個向量在另一個向量上的投影量。 餘弦定理 vs. 正弦定理 已知條件使用公式兩邊 + 夾角（SAS）餘弦定理三邊（SSS）餘弦定理兩角 + 一邊（AAS / ASA）正弦定理兩邊 + 非夾角（SSA）正弦定理（注意模糊情況） 正弦定理在已有邊-對角對時計算較簡便。餘弦定理沒有模糊情況，對 SAS 和 SSS 始終給出唯一解。 三角不等式 三邊要構成三角形，每條邊必須小於另外兩邊之和。若不滿足此條件（如邊長為 1、2、10），反餘弦的引數會超出 [−1, 1]，計算機顯示錯誤。快速驗證：將三邊由小到大排列，確認最短兩邊之和大於最長邊。 常見問題（FAQ）餘弦定理和畢氏定理有什麼關係？餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C 是畢氏定理的推廣。當 C = 90° 時，cos 90° = 0，公式退化為 c² = a² + b²。銳角（C < 90°）時，2ab cos C 為正，c 較短；鈍角（C > 90°）時，cos C 為負，c 比直角情況更長。 什麼時候該用餘弦定理而不是正弦定理？已知兩邊與夾角（SAS）或三邊（SSS）時，使用餘弦定理。正弦定理在已知一個邊-對角對時較為簡便，但在 SSA（兩邊與非夾角）情況下可能有兩個解（模糊情況）。餘弦定理不存在模糊情況，始終給出唯一解。 SAS 模式可以求出什麼？輸入兩邊 a、b 及夾角 C，可求第三邊 c = √(a² + b² − 2ab cos C)。例如 a = 5、b = 7、C = 60°，c = √39 ≈ 6.245。得到三邊後，可切換至 SSS 模式求其餘角度。 三邊無法構成有效三角形時會怎樣？三角不等式要求每邊均小於其他兩邊之和。若條件不滿足（如邊長為 1、2、10），反餘弦的引數會超出 [−1, 1] 範圍，計算機將顯示錯誤。快速驗證：將三邊由小到大排列，確認最短兩邊之和大於最長邊。 推薦的下一個 畢氏定理計算機 利用畢氏定理（a² + b² = c²）計算直角三角形的任意一邊。輸入任意兩邊，即可求出第三邊。 深入了解三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素 輸入兩邊長及其夾角，利用餘弦定理求第三邊、其餘兩角、面積、外接圓半徑與內切圓半徑。 深入了解三角形計算機（SSS）— 三邊求全 輸入三邊長，利用餘弦定理與海龍公式，一次算出所有角度、面積、半周長及外接圓、內切圓半徑。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機 其他數學計算機 代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式定積分計算機多項式導數計算機配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機立體幾何 四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機環形體體積計算機統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機信賴區間計算機描述統計計算機變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機機率 二項分布機率計算機常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 科學記數法轉換器最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機質因數分解計算機質數判斷器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-19 什麼是餘弦定理？ 餘弦定理將三角形的三邊與其中一個角的餘弦值相連結。對於邊長為 a、b、c 且角 C 為邊 c 對角的三角形，公式如下： c² = a² + b² − 2ab cos C 這一個方程式可以解決三角形計算的兩種典型情況： SAS（邊角邊）： 已知兩邊及其夾角，用餘弦定理求第三邊。 SSS（三邊已知）： 已知三邊，將公式改寫三次即可求出三個角度： A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)) B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)) C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab)) 如何使用本計算機 SAS 模式 — 選擇「SAS — 求邊 c」，輸入邊 a、b 及其夾角 C（度數）。計算機返回邊 c。 SSS 模式 — 選擇「SSS — 求各角度」，輸入三邊 a、b、c。計算機以度數返回三個角度 A、B、C。 計算範例：SAS 測量員測量一塊三角形土地，兩條邊界分別為 83 m 和 112 m，夾角為 54°。第三條邊界長度為何？ a = 83，b = 112，C = 54° c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54° c² = 6,889 + 12,544 − 18,592 × 0.5878 c² ≈ 8,502 c ≈ 92.2 m 計算範例：SSS 一個三角形花園的三邊分別為 5 m、7 m 和 6 m。各頂點角度為何？ A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4° B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5° C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1° 驗算：44.4° + 78.5° + 57.1° = 180°。✓ 公式的推導：與畢氏定理的關係 畢氏定理計算機 （c² = a² + b²）是餘弦定理的特殊情況。當角 C 恰好為 90° 時，cos 90° = 0，「2ab cos C」項消失，留下 c² = a² + b²。 對其他角度： C < 90°（銳角）：cos C > 0，減去的項使 c 變短。 C > 90°（鈍角）：cos C < 0，項變為加法，c 比直角情況更長。 這種幾何直覺直接來自向量內積的定義，衡量一個向量在另一個向量上的投影量。 餘弦定理 vs. 正弦定理 已知條件使用公式兩邊 + 夾角（SAS）餘弦定理三邊（SSS）餘弦定理兩角 + 一邊（AAS / ASA）正弦定理兩邊 + 非夾角（SSA）正弦定理（注意模糊情況） 正弦定理在已有邊-對角對時計算較簡便。餘弦定理沒有模糊情況，對 SAS 和 SSS 始終給出唯一解。 三角不等式 三邊要構成三角形，每條邊必須小於另外兩邊之和。若不滿足此條件（如邊長為 1、2、10），反餘弦的引數會超出 [−1, 1]，計算機顯示錯誤。快速驗證：將三邊由小到大排列，確認最短兩邊之和大於最長邊。 常見問題（FAQ）餘弦定理和畢氏定理有什麼關係？餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C 是畢氏定理的推廣。當 C = 90° 時，cos 90° = 0，公式退化為 c² = a² + b²。銳角（C < 90°）時，2ab cos C 為正，c 較短；鈍角（C > 90°）時，cos C 為負，c 比直角情況更長。 什麼時候該用餘弦定理而不是正弦定理？已知兩邊與夾角（SAS）或三邊（SSS）時，使用餘弦定理。正弦定理在已知一個邊-對角對時較為簡便，但在 SSA（兩邊與非夾角）情況下可能有兩個解（模糊情況）。餘弦定理不存在模糊情況，始終給出唯一解。 SAS 模式可以求出什麼？輸入兩邊 a、b 及夾角 C，可求第三邊 c = √(a² + b² − 2ab cos C)。例如 a = 5、b = 7、C = 60°，c = √39 ≈ 6.245。得到三邊後，可切換至 SSS 模式求其餘角度。 三邊無法構成有效三角形時會怎樣？三角不等式要求每邊均小於其他兩邊之和。若條件不滿足（如邊長為 1、2、10），反餘弦的引數會超出 [−1, 1] 範圍，計算機將顯示錯誤。快速驗證：將三邊由小到大排列，確認最短兩邊之和大於最長邊。
