最後更新：2026-05-19

向量的大小

向量的大小（又稱模或長度）是從原點到向量終點的直線距離。對於 n 維空間中的向量 v = (v₁, v₂, …, vₙ)，歐幾里得大小定義為：

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

本計算機接受任意個以逗號分隔的分量（例如 3, 4 代表二維向量，1, 2, 3 代表三維向量），並輸出向量大小、維度數，以及與原向量同方向的單位向量。

公式的由來

這個公式是畢氏定理（勾股定理）向 n 維空間的推廣。

在二維平面中，向量 (a, b) 構成直角三角形的斜邊，兩股長分別為 a 與 b，因此 $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$。在三維空間中，向量 (a, b, c) 對應長方體的體對角線，大小為 $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$。相同的邏輯可以無限延伸：將所有分量平方後相加，再取開根號，維度愈高，步驟愈多，但原理始終相同。

計算範例

題目： 求向量 v = (3, 4, 12) 的大小與單位向量。

步驟一 — 計算各分量的平方和：

$3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

步驟二 — 取平方根得向量大小：

$|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

步驟三 — 各分量除以大小，得到單位向量：

$\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0.230769,\ 0.307692,\ 0.923077)$

解讀： 向量 (3, 4, 12) 的長度為 13 個單位。單位向量描述其方向——每走 1 單位距離，在三個軸向上分別前進約 0.231、0.308 與 0.923。

單位向量

單位向量的大小恰為 1，保留原向量的方向但去掉尺度資訊。計算方式是將每個分量除以向量大小：

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

單位向量的應用十分廣泛：

• 物理學： 力與速度的方向向量、曲面法向量。
• 三維電腦繪圖： 光照計算（光源、法線方向）、攝影機朝向。
• 機器學習： 餘弦相似度計算、特徵向量正規化。
• 導航與測繪： 由位移向量求方位角。

若輸入為零向量（所有分量均為 0），其大小為 0，方向無定義，因此不存在對應的單位向量。

其他常見範數

歐幾里得範數（L²）是最普遍的向量長度定義，但在不同應用領域中也常見以下兩種範數：

範數	公式	別名	常見用途
L¹	Σ |vᵢ|	曼哈頓距離、計程車距離	稀疏模型（LASSO）、網格路徑
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	歐幾里得範數	幾何、物理、餘弦相似度
L∞	max |vᵢ|	切比雪夫距離	棋盤步數、控制系統

本計算機計算的是 L²（歐幾里得）範數，即科學與工程領域中「長度」的標準定義。

常見應用場景

• 物理學： 已知速度分量 (vₓ, vy, vz)，求合速度大小；由力的分量求合力。
• 三維電腦繪圖： 在光照計算前，將曲面法向量正規化為單位向量。
• 資料科學： 以 L2 正規化處理特徵向量，再進行餘弦相似度搜尋。
• 機器人學： 由關節位移向量計算末端執行器的到達距離。
• GPS 與地圖： 將 (東偏、北偏、高差) 位移轉換為實際直線距離。

使用說明

• 以逗號分隔各分量輸入：3, 4、1, 2, 3，或 0.5, -1.2, 0.8, 2.0。
• 負數分量完全有效——平方後符號消除。
• 小數分量亦可使用：1.5, 2.5 的大小約為 2.915476。
• 輸入單一分量（如 5）時，大小為 5，單位向量為 (1)，與公式一致。

常見問題（FAQ）

向量大小（模）是什麼意思？

向量的大小，也稱為模或長度，是從原點到向量終點的直線距離。對於向量 v = (v₁, v₂, …, vₙ)，大小定義為 |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²)，即歐幾里得範數（L² 範數）。這是勾股定理（畢氏定理）向 n 維空間的推廣。以 (3, 4) 為例：|v| = √(9 + 16) = 5。

單位向量怎麼求？有什麼用途？

單位向量是與原向量方向相同、大小恰好為 1 的向量，計算方式是將每個分量除以向量大小：v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|)。當只關心方向而不在意大小時，單位向量十分有用——例如三維繪圖中的法向量、物理學中的受力方向，以及機器學習中梯度下降的更新方向。

向量大小公式如何推廣到三維或更高維度？

公式 |v| = √(Σ vᵢ²) 對任意維度均成立。三維向量 (a, b, c) 的大小為 √(a² + b² + c²)，幾何上對應長方體的體對角線長。四維以上雖難以直觀想像，但運算方式完全相同：將所有分量平方後相加，再開根號。本計算機支援輸入任意個逗號分隔的數值。

L¹ 範數和 L∞ 範數是什麼？有何差異？

除歐幾里得範數（L²）外，常見的還有 L¹ 範數（曼哈頓距離）與 L∞ 範數（切比雪夫距離）。L¹ 範數對所有分量取絕對值後相加：‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯，常用於 LASSO 正則化與網格路徑距離。L∞ 範數取所有分量絕對值的最大值：‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|)，常見於棋盤步數問題與控制系統分析。本計算機計算的是最普遍的 L² 歐幾里得範數。