最後更新：2026-06-06

定義

角錐台（截頭角錐）是以平行於底面的平面截去角錐頂部後所形成的立體。它具有兩個平行的多邊形底面：較大的底面（面積 A₁）與較小的頂面（面積 A₂），由梯形側面連接，兩底面之間的垂直距離為高度 h。

與圓台（截頭圓錐）的底面固定為圓形不同，角錐台的底面可以是任何多邊形——正方形、長方形、三角形、六邊形等均可，唯一條件是兩底面須為相似多邊形，亦即形狀相同、比例一致。

計算公式

角錐台的體積公式為：

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

其中 A₁ 為底面積、A₂ 為頂面積、h 為兩底面之間的垂直高度。

公式中含有三項：底面積 A₁、頂面積 A₂，以及兩者的幾何平均 √(A₁A₂)，三項各乘以 h/3。

公式推導

以相似立體法推導。設完整角錐的頂點距底面高度為 H，底面積為 A₁；頂部截掉的小角錐高度為 H − h，底面積為 A₂。依相似立體的面積比規律，面積隨線性比例的平方縮放：

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

由此求出 H，代入兩角錐體積之差：

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

消去 H 並化簡後，即得到上述三項式。幾何平均 √(A₁A₂) 的出現，反映了將角錐延伸至完整形狀後，位於一半高度處的中間截面積大小。

特殊情形

兩種退化情形可作為計算結果的驗算依據：

完整角錐（A₂ = 0）： 公式化簡為 V = A₁·h/3，即標準角錐體積公式，幾何平均項消失。

稜柱（A₁ = A₂ = A）： 公式化簡為 V = (h/3)(A + A + A) = A·h，即標準稜柱體積公式。此結果確認，當兩底面面積相等時，角錐台即為稜柱。

計算範例

一個花槽的底面為 30 公分 × 30 公分的正方形，頂面為 20 公分 × 20 公分的正方形，高度為 25 公分。

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360,000 = 600 cm²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1,900 ≈ 15,833 cm³（約 15.8 公升）

面積直接輸入的通用性

本計算機接受底面積與頂面積作為輸入，無須指定底面的邊長或邊數。此設計使公式對所有底面形狀均具通用性：正方形底面輸入 A = 邊長²，正六邊形底面（邊長 a）輸入 A = (3√3/2)a²，三角形底面輸入相應面積公式的結果即可，不需為各種形狀分別設計計算流程。

相關計算

• 四角錐計算機 — 完整角錐的體積、底面積、斜高、側面積與全面積
• 圓台計算機（截頭圓錐） — 圓台（截頭圓錐）的體積與表面積
• 長方體計算機 — 長方體的體積與表面積（即 A₁ = A₂ 的特殊情形）