首頁 數學 幾何平均數計算 產生日期: 2026年6月13日 下午06:01 幾何平均數計算 輸入 正數資料2, 8, 32 結果 幾何平均數8 算術平均數14 乘積512 數值個數3 數學 幾何平均數計算 計算一組正數的幾何平均數、算術平均數與乘積。輸入以逗號分隔的正數，比較兩種平均數的差異。 輸入 正數資料 以逗號分隔輸入正數（例如：2, 8, 32）。所有數值必須大於零。 結果 幾何平均數 全部數值乘積的 3 次方根。恆小於或等於算術平均數。 詳細資料 算術平均數 全部 3 個數值之和除以個數。恆大於或等於幾何平均數。 乘積 全部 3 個數值相乘的結果。 數值個數 從輸入中解析到的數值總個數。 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-06-04 定義 幾何平均數（geometric mean）是 n 個正數乘積的 n 次方根。對於數值 x₁, x₂, …, xₙ，幾何平均數 G 定義為： G=(x1×x2×⋯×xn)1/nG = \left( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \right)^{1/n}G=(x1×x2×⋯×xn)1/n 等價的對數形式為： G=exp (lnx1+lnx2+⋯+lnxnn)G = \exp\!\left( \frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n} \right)G=exp(nlnx1+lnx2+⋯+lnxn) 兩種形式結果相同，但對數形式在數值上更為穩定：當資料個數多或數值較大時，直接相乘容易超出浮點數範圍；先取對數、求算術平均再還原，可避免溢位問題。本計算機內部採用對數形式。 適用時機 幾何平均數適合描述乘法結構的資料，算術平均數適合描述加法結構的資料。以下為常見應用情境： 投資報酬率與成長因子 計算多期投資的年化報酬率時，應使用幾何平均數。若某投資三年的成長因子分別為 1.20、0.90、1.15，算術平均數為 1.083，但三年累積結果為 1.20 × 0.90 × 1.15 ≈ 1.242，等效每年固定因子為 1.242^(1/3) ≈ 1.075。幾何平均數直接給出這個 1.075，算術平均數則高估了實際年化績效。 價格指數與比值 跨類別的比值或指數，各類別的基準單位不同，幾何平均數使乘法結構保持一致，不受絕對值大小影響，適合彙總各類別的相對變化。 對數常態分布資料 細菌數量、地震震級、所得分布等資料往往橫跨數個數量級，呈現對數常態分布。對此類資料，幾何平均數對應對數常態分布的中位數，是更具代表性的集中趨勢量數。 計算範例 以三筆投資年報酬率為例：+20%、−10%、+24%，換算為成長因子：1.20、0.90、1.24。 乘積： 1.20 × 0.90 × 1.24 ≈ 1.3392 幾何平均數： 1.3392^(1/3) ≈ 1.1022，等效年化報酬率約 10.22% 算術平均數： (1.20 + 0.90 + 1.24) / 3 ≈ 1.1133，換算約 11.33% 算術平均數高估了可持續的年化報酬，因為它忽略了獲利與虧損之間的複利交互作用。以幾何平均數 10.22% 計算三年後，初始投資乘以 1.3392，與實際累積結果完全吻合。 AM-GM 不等式 對任意一組正數，算術平均數（AM）恆大於或等於幾何平均數（GM），等號僅在所有數值相等時成立： x1+x2+⋯+xnn ≥ (x1×x2×⋯×xn)1/n\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \;\geq\; \left( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \right)^{1/n}nx1+x2+⋯+xn≥(x1×x2×⋯×xn)1/n AM 與 GM 之差隨資料分散程度增大而擴大，可反映乘法結構下的資料變異程度。 此不等式在數學上有一個直觀的幾何詮釋：在所有周長固定的矩形中，正方形（兩邊相等）面積最大。矩形面積等同兩邊長的幾何平均數的平方，而面積在兩邊相等時達到最大，此時 AM = GM。AM-GM 不等式在最佳化問題與金融分析中均有廣泛應用。 與其他平均數的關係 幾何平均數是三種畢達哥拉斯平均數之一，三者對正數資料的大小關係恆為： 調和平均數（HM）≤ 幾何平均數（GM）≤ 算術平均數（AM） 算術平均數：最小化各值與平均數的差的平方和，對離群值較敏感。 幾何平均數：在對數空間中最小化差的平方和，適合乘法結構資料。 調和平均數：倒數的算術平均數再取倒數，適合速率與效率類資料（例如平均速率）。 本計算機同時計算 GM 與 AM，可直接比較兩者在同一資料集上的差異。 相關計算 平均數、中位數與眾數計算機 — 算術平均數、中位數、眾數與全距 加權平均計算機 — 帶有權重的加權平均數 變異數與標準差計算機 — 資料對平均數的分散程度 描述統計計算機 — 包含偏態與峰態的完整描述統計量 常見問題（FAQ）幾何平均數和算術平均數，應如何選擇？當資料之間是相乘關係（例如成長率、投資報酬率、比值），應使用幾何平均數；當資料之間是相加關係（例如溫度、分數、長度），則使用算術平均數。 以投資報酬為例：某資產第一年上漲 50%、第二年下跌 33%，成長因子分別為 1.50 與 0.67。算術平均數為 1.085，換算為每年 8.5% 的報酬，但兩年累積結果為 1.50 × 0.67 ≈ 1.00，實際年化報酬率為 0%。幾何平均數正確反映這個結果；算術平均數在此高估了實際績效。 為什麼所有輸入值都必須是正數？幾何平均數定義為 n 個數值乘積的 n 次方根。若其中有數值為零，乘積歸零，平均數亦為零，無論其他數值多大。若有負數，偶數個負數相乘可得正值，但結果不具備「中心值」的統計意義；奇數個負數相乘得到負乘積，其 n 次方根在實數範圍內無法作為平均數解釋。 實務上，幾何平均數適用於本身恆正的量：價格、長度、人口數、投資報酬因子等，這些量在定義上均為正。 幾何平均數與複利成長有何關聯？一系列成長因子的幾何平均數，就是每期維持不變、最終產生相同累積結果的等效固定成長因子。若 n 期的成長因子分別為 r₁、r₂、…、rₙ，期末值等於期初值乘以 r₁ × r₂ × … × rₙ。幾何平均數 G = (r₁ × r₂ × … × rₙ)^(1/n)，即等效的每期固定因子。 舉例：三期成長因子為 1.20、0.90、1.15，幾何平均數約為 1.075，即等效每期固定成長率約 7.5%。 算術－幾何平均不等式是什麼？算術－幾何平均不等式（AM-GM 不等式）指出，對任意一組正數，算術平均數恆大於或等於幾何平均數，僅當所有數值相等時等號成立。 形式化表述：(x₁ + x₂ + … + xₙ) / n ≥ (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n) 兩者之差隨資料分散程度增大而擴大，可作為乘法結構下資料變異程度的一項指標。此不等式在最佳化、幾何與金融領域均有廣泛應用。本計算機同時顯示 AM 與 GM，可直接觀察兩者的差距。 推薦的下一個 平均數、中位數與眾數計算機 輸入以逗號分隔的數字，計算平均數、中位數、眾數與全距。四種集中趨勢指標一次呈現。 深入了解變異數與標準差計算機 輸入逗號分隔的數值，計算變異數與標準差。支援樣本（n−1，貝塞爾修正）與母體（n）兩種模式自由切換。 深入了解加權平均計算機 計算最多 5 個數值的加權平均數。適用於學業成績加權、考試配分、投資組合報酬率及問卷加權統計。 深入了解描述統計計算機 計算最多 8 個數值的算術平均數、變異數與標準差，並區分 N（母體）與 N−1（樣本）兩種分母的差異。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機百分位數與四分位數計算機幾何平均數計算 +5 more Show less 信賴區間計算機描述統計計算機變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機 其他數學計算機 代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式求值（霍納法）多項式定積分計算機多項式導數計算機矩陣乘法計算配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機點到直線距離計算機立體幾何 半球體積與表面積計算四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線角錐台體積計算長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機橢球體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機點積計算機率 二項分布機率計算機卜瓦松分配計算常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)幾何分配計算機期望值計算機階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等比數列計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 次方計算科學記數法轉換器第 n 次方根計算最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機數字捨入計算機模運算計算機質因數分解計算機質數判斷器整除性規則查驗器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-06-04 定義 幾何平均數（geometric mean）是 n 個正數乘積的 n 次方根。對於數值 x₁, x₂, …, xₙ，幾何平均數 G 定義為： G=(x1×x2×⋯×xn)1/nG = \left( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \right)^{1/n}G=(x1×x2×⋯×xn)1/n 等價的對數形式為： G=exp (lnx1+lnx2+⋯+lnxnn)G = \exp\!\left( \frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n} \right)G=exp(nlnx1+lnx2+⋯+lnxn) 兩種形式結果相同，但對數形式在數值上更為穩定：當資料個數多或數值較大時，直接相乘容易超出浮點數範圍；先取對數、求算術平均再還原，可避免溢位問題。本計算機內部採用對數形式。 適用時機 幾何平均數適合描述乘法結構的資料，算術平均數適合描述加法結構的資料。以下為常見應用情境： 投資報酬率與成長因子 計算多期投資的年化報酬率時，應使用幾何平均數。若某投資三年的成長因子分別為 1.20、0.90、1.15，算術平均數為 1.083，但三年累積結果為 1.20 × 0.90 × 1.15 ≈ 1.242，等效每年固定因子為 1.242^(1/3) ≈ 1.075。幾何平均數直接給出這個 1.075，算術平均數則高估了實際年化績效。 價格指數與比值 跨類別的比值或指數，各類別的基準單位不同，幾何平均數使乘法結構保持一致，不受絕對值大小影響，適合彙總各類別的相對變化。 對數常態分布資料 細菌數量、地震震級、所得分布等資料往往橫跨數個數量級，呈現對數常態分布。對此類資料，幾何平均數對應對數常態分布的中位數，是更具代表性的集中趨勢量數。 計算範例 以三筆投資年報酬率為例：+20%、−10%、+24%，換算為成長因子：1.20、0.90、1.24。 乘積： 1.20 × 0.90 × 1.24 ≈ 1.3392 幾何平均數： 1.3392^(1/3) ≈ 1.1022，等效年化報酬率約 10.22% 算術平均數： (1.20 + 0.90 + 1.24) / 3 ≈ 1.1133，換算約 11.33% 算術平均數高估了可持續的年化報酬，因為它忽略了獲利與虧損之間的複利交互作用。以幾何平均數 10.22% 計算三年後，初始投資乘以 1.3392，與實際累積結果完全吻合。 AM-GM 不等式 對任意一組正數，算術平均數（AM）恆大於或等於幾何平均數（GM），等號僅在所有數值相等時成立： x1+x2+⋯+xnn ≥ (x1×x2×⋯×xn)1/n\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \;\geq\; \left( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \right)^{1/n}nx1+x2+⋯+xn≥(x1×x2×⋯×xn)1/n AM 與 GM 之差隨資料分散程度增大而擴大，可反映乘法結構下的資料變異程度。 此不等式在數學上有一個直觀的幾何詮釋：在所有周長固定的矩形中，正方形（兩邊相等）面積最大。矩形面積等同兩邊長的幾何平均數的平方，而面積在兩邊相等時達到最大，此時 AM = GM。AM-GM 不等式在最佳化問題與金融分析中均有廣泛應用。 與其他平均數的關係 幾何平均數是三種畢達哥拉斯平均數之一，三者對正數資料的大小關係恆為： 調和平均數（HM）≤ 幾何平均數（GM）≤ 算術平均數（AM） 算術平均數：最小化各值與平均數的差的平方和，對離群值較敏感。 幾何平均數：在對數空間中最小化差的平方和，適合乘法結構資料。 調和平均數：倒數的算術平均數再取倒數，適合速率與效率類資料（例如平均速率）。 本計算機同時計算 GM 與 AM，可直接比較兩者在同一資料集上的差異。 相關計算 平均數、中位數與眾數計算機 — 算術平均數、中位數、眾數與全距 加權平均計算機 — 帶有權重的加權平均數 變異數與標準差計算機 — 資料對平均數的分散程度 描述統計計算機 — 包含偏態與峰態的完整描述統計量 常見問題（FAQ）幾何平均數和算術平均數，應如何選擇？當資料之間是相乘關係（例如成長率、投資報酬率、比值），應使用幾何平均數；當資料之間是相加關係（例如溫度、分數、長度），則使用算術平均數。 以投資報酬為例：某資產第一年上漲 50%、第二年下跌 33%，成長因子分別為 1.50 與 0.67。算術平均數為 1.085，換算為每年 8.5% 的報酬，但兩年累積結果為 1.50 × 0.67 ≈ 1.00，實際年化報酬率為 0%。幾何平均數正確反映這個結果；算術平均數在此高估了實際績效。 為什麼所有輸入值都必須是正數？幾何平均數定義為 n 個數值乘積的 n 次方根。若其中有數值為零，乘積歸零，平均數亦為零，無論其他數值多大。若有負數，偶數個負數相乘可得正值，但結果不具備「中心值」的統計意義；奇數個負數相乘得到負乘積，其 n 次方根在實數範圍內無法作為平均數解釋。 實務上，幾何平均數適用於本身恆正的量：價格、長度、人口數、投資報酬因子等，這些量在定義上均為正。 幾何平均數與複利成長有何關聯？一系列成長因子的幾何平均數，就是每期維持不變、最終產生相同累積結果的等效固定成長因子。若 n 期的成長因子分別為 r₁、r₂、…、rₙ，期末值等於期初值乘以 r₁ × r₂ × … × rₙ。幾何平均數 G = (r₁ × r₂ × … × rₙ)^(1/n)，即等效的每期固定因子。 舉例：三期成長因子為 1.20、0.90、1.15，幾何平均數約為 1.075，即等效每期固定成長率約 7.5%。 算術－幾何平均不等式是什麼？算術－幾何平均不等式（AM-GM 不等式）指出，對任意一組正數，算術平均數恆大於或等於幾何平均數，僅當所有數值相等時等號成立。 形式化表述：(x₁ + x₂ + … + xₙ) / n ≥ (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n) 兩者之差隨資料分散程度增大而擴大，可作為乘法結構下資料變異程度的一項指標。此不等式在最佳化、幾何與金融領域均有廣泛應用。本計算機同時顯示 AM 與 GM，可直接觀察兩者的差距。
