平均數、中位數與眾數計算機

最後更新：2026-05-19

集中趨勢指標

平均數、中位數與眾數是描述一組數值「中心位置」的三種集中趨勢指標；全距則衡量資料的分散程度。四項指標各自適用於不同的資料分布與分析目的，需依情境選擇使用。

輸入以逗號分隔的數字（例如 12, 15, 11, 19, 14），計算機會同時輸出平均數、中位數、眾數與全距。

各指標定義與計算方式

平均數（算術平均）

平均數是所有數值之總和除以個數：

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

以 4, 8, 15, 16, 23, 42 為例：

$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 15 + 16 + 23 + 42}{6} = \frac{108}{6} = 18$

平均數會使用每一個數值，因此一個極端值就可能大幅拉高或壓低結果。資料呈對稱分布時，平均數是最常用的指標。

中位數

中位數是將資料由小到大排列後位於中間的數值：

• n 為奇數： 中間那個數值。
• n 為偶數： 中間兩個數值的平均。

對 4, 8, 15, 16, 23, 42（n = 6，偶數）：

$M_d = \frac{15 + 16}{2} = 15.5$

中位數不受極端值影響。行政院主計總處公布的受僱員工薪資中位數低於平均薪資，這正是因為少數高薪者拉高了平均值——中位數更能反映多數受薪者的實際薪資水準。

眾數

眾數是出現次數最多的數值。一組資料可能：

• 無眾數（no mode）：所有數值各出現一次。
• 單峰： 一個數值出現次數最多。
• 雙峰： 兩個數值並列最高頻次。
• 多峰： 三個以上數值並列最高頻次。

以 2, 3, 3, 5, 7, 7 為例：3 與 7 各出現兩次 → 眾數：3, 7。

眾數是唯一也適用於類別型資料的集中趨勢指標，例如找出某次問卷中最多人選擇的答案。

全距

全距是測量資料分散程度最簡單的指標：

$R = x_{\max} - x_{\min}$

對 4, 8, 15, 16, 23, 42：全距 = 42 − 4 = 38。

全距對極端值敏感。需要更穩健的散布指標時，標準差（可在 描述統計計算機 計算）是更適合的選擇。

計算範例：測驗成績

七位同學的成績：55, 62, 70, 70, 78, 84, 95（滿分 100）

指標	計算	結果
資料個數	7 個	7
平均數	(55+62+70+70+78+84+95) ÷ 7 = 514 ÷ 7	73.43
中位數	排序後第 4 個數值	70
眾數	70 出現兩次	70
全距	95 − 55	40

解讀：平均數（73.43）與中位數（70）相近，顯示分布接近對稱。眾數為 70，是最常出現的分數。全距 40 分代表班級成績差異屬中等程度。

指標選用原則

情境	建議指標
資料對稱且無極端值	平均數
分布偏斜或存在離群值	中位數
找出最常出現的值	眾數
了解資料的整體範圍	全距

公式背後的原理

平均數能使偏差平方和 Σ(xᵢ − c)² 最小化，這是最小平方法與線性迴歸的理論基礎。

中位數能使偏差絕對值和 Σ|xᵢ − c| 最小化，因此對極端值具有強健性。

常見問題（FAQ）

平均數和中位數，什麼時候該用哪個？

資料對稱且無極端值時，使用平均數；資料分布偏斜或有離群值時（如薪資、房價），使用中位數較能反映典型水準。以薪資為例，少數高薪人士拉高了平均薪資，而中位薪資更能代表多數受薪者的實際所得。

一組資料可以有多個眾數嗎？

可以。兩個數值同為最高出現次數時稱為雙峰分布；三個以上則稱多峰分布。例如 2, 3, 3, 5, 7, 7 中，3 和 7 各出現兩次，計算機會顯示兩個眾數：「3, 7」。

若所有數值都不同，眾數會怎麼顯示？

當每個數值只出現一次，沒有任何數值比其他數值更頻繁出現，依慣例視為無眾數。計算機會顯示「no mode」。平均數、中位數與全距仍可正常計算。

這和描述統計計算機有何不同？

本計算機專注於四個常見集中趨勢指標——平均數、中位數、眾數與全距——且可輸入任意數量的數值。完整的描述統計計算機還會計算變異數和標準差。需要集中趨勢指標時適用本計算機；需要離散程度指標時則適合使用描述統計計算機。