首頁 數學 描述統計計算機 描述統計計算機 計算最多 8 個數值的算術平均數、變異數與標準差，並區分 N（母體）與 N−1（樣本）兩種分母的差異。 列印 輸入 數值 1 第一筆資料。 數值 2 第二筆資料。 數值 3 第三筆資料。 數值 4 第四筆資料。 數值 5 第五筆資料。 數值 6 第六筆資料。 數值 7 第七筆資料。 數值 8 第八筆資料。 結果 平均數 算術平均：(x₁ + x₂ + … + x₈) ÷ 8。 詳細資料 最小值 資料集中最小的數值。 最大值 資料集中最大的數值。 全距 最大值 − 最小值。 母體變異數 以全體 N 為分母的變異數：平方和（SS）÷ N。適用於這 8 個值即為完整母體的情況。 母體標準差 母體變異數的平方根，與原始資料同單位。 樣本變異數 以 N−1 為分母的不偏估計量：平方和（SS）÷ (N − 1)。適用於這 8 個值為抽樣資料的情況。 樣本標準差 樣本變異數的平方根。多數學術論文及統計報告所採用的標準差。 數值 1 12 數值 2 15 數值 3 11 數值 4 19 數值 5 14 數值 6 22 數值 7 9 數值 8 17 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-18 描述統計量的定義 描述統計量（descriptive statistics）是一組用於概括資料集分布特徵的數值指標，包含集中趨勢（平均數）與離散程度（變異數、標準差、全距）兩大類別。本計算機接受最多 8 個數值，同時輸出算術平均數、母體與樣本變異數、母體與樣本標準差、最小值、最大值及全距，是所有量化分析的基礎工具。 核心統計指標 平均數（算術平均）： 將所有數值相加再除以 8。平均數是資料集的重心，對極端值敏感——單一異常值就能明顯拉動它。 變異數： 各數值與平均數距離的平方均值。平方運算確保差值皆為正數，並放大極端值的影響。有兩個版本： 母體變異數（σ²） — 除以 N 樣本變異數（s²） — 除以 N − 1 標準差： 變異數的平方根，回到原始資料的單位（公尺、新臺幣、分鐘）。這是最常見的離散程度指標。 全距： 最大值 − 最小值。最簡單的離散量——實用，但對極端值極為敏感，因為它只取決於兩個數值。 母體變異數 vs 樣本變異數：N 還是 N−1？ 這是描述統計中最常見的混淆點。 母體變異數（σ²，除以 N）：當這 8 個數值就是整個研究對象的全體時使用——沒有更大的群體從中抽取這些值。例如：某次模擬考中，一班恰好 8 位同學的成績。 樣本變異數（s²，除以 N − 1）：當這 8 個數值是從更大母體隨機抽取的樣本，目的是估計母體真實變異數時使用。N − 1 的分母稱為貝塞爾校正，使 s² 成為不偏估計量。若直接除以 N，樣本變異數會系統性地低估真實的母體變異數。 直覺原因：樣本傾向於比母體更靠近自己的樣本平均數，而非真實的母體平均數——因此 SS ÷ N 平均而言偏小。除以 N − 1 能矯正這個偏誤。 經驗法則： 若資料為從更大群體中收集的樣本（問卷回覆、量測值、學測或統測分數），應使用樣本標準差。若這 8 個值已定義了所關心的全部對象，應使用母體標準差。 計算範例 — 考試成績 成績：12、15、11、19、14、22、9、17 平均數： (12 + 15 + 11 + 19 + 14 + 22 + 9 + 17) ÷ 8 = 119 ÷ 8 = 14.875 離均差平方和（SS）： (12 − 14.875)² = 8.27 (15 − 14.875)² = 0.02 (11 − 14.875)² = 15.02 (19 − 14.875)² = 17.02 (14 − 14.875)² = 0.77 (22 − 14.875)² = 50.77 (9 − 14.875)² = 34.52 (17 − 14.875)² = 4.52 SS = 130.875 母體標準差： σ=130.875÷8=16.36≈\sigma = \sqrt{130.875 \div 8} = \sqrt{16.36} \approx 4.04 樣本標準差： s=130.875÷7=18.70≈s = \sqrt{130.875 \div 7} = \sqrt{18.70} \approx 4.32 成績 22 是輕微的極端值——它單獨就佔了總 SS 的約 39%。 中位數的計算限制 中位數需要排序——從小到大排列後找到中間的值。8 個數值（N 為偶數）的中位數是排序後第 4 個與第 5 個數值的平均值。本計算機的引擎以代數方式評估公式，不支援對任意輸入進行排序。如需計算中位數，請使用試算表軟體（Excel 或 Google 試算表：MEDIAN()）。 常見問題（FAQ）母體標準差和樣本標準差有什麼不同？母體標準差（σ）以 N 為分母；樣本標準差（s）以 N−1 為分母。當這 8 個數值就是研究對象的全體時，用 σ。當這 8 個數值是從更大母體中抽取的樣本時，用 s。N−1 的分母稱為貝塞爾校正（Bessel's correction），可使 s 成為母體標準差的不偏估計量。若直接除以 N，樣本標準差會系統性地低估真實的母體標準差。 中位數怎麼計算？將數值由小到大排序。若 N 為奇數，中位數為最中間的數；若 N 為偶數（如本計算機的 8 個值），中位數為排序後第 4 與第 5 個數的平均值。本計算機不計算中位數，因為引擎不支援對任意輸入進行排序。如需計算中位數，可在 Excel 或 Google 試算表中使用 MEDIAN() 函數。 標準差代表什麼意思？標準差衡量資料圍繞平均數的離散程度。標準差越小，資料越集中；標準差越大，資料越分散。在常態分布下，約 68% 的數值落在距平均數一個標準差的範圍內，約 95% 落在兩個標準差內。 什麼時候應該用變異數而不是標準差？標準差與原始資料同單位，適合直觀報告。變異數則常用於數學推導與變異數分析（ANOVA），原因在於獨立資料集的變異數可以直接相加，標準差則不行。 推薦的下一個 骰子機率計算機 精確計算擲出指定數量骰子後，點數總和達到或超過目標值的機率，結果以最簡分數與小數同時呈現。 深入了解組合計算機 — C(n, r) 計算組合數 C(n, r)：從 n 個元素中取出 r 個且不考慮順序的方法數。支援 n 最大至 20。 深入了解百分比計算機 提供三種百分比計算方式：求某數的百分比值、計算一個數佔另一個數的百分比，或由部分值與百分比反推總量。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機信賴區間計算機描述統計計算機 +3 more Show less 變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機 其他數學計算機 代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式定積分計算機多項式導數計算機配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機立體幾何 四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機機率 二項分布機率計算機常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 科學記數法轉換器最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機質因數分解計算機質數判斷器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-18 描述統計量的定義 描述統計量（descriptive statistics）是一組用於概括資料集分布特徵的數值指標，包含集中趨勢（平均數）與離散程度（變異數、標準差、全距）兩大類別。本計算機接受最多 8 個數值，同時輸出算術平均數、母體與樣本變異數、母體與樣本標準差、最小值、最大值及全距，是所有量化分析的基礎工具。 核心統計指標 平均數（算術平均）： 將所有數值相加再除以 8。平均數是資料集的重心，對極端值敏感——單一異常值就能明顯拉動它。 變異數： 各數值與平均數距離的平方均值。平方運算確保差值皆為正數，並放大極端值的影響。有兩個版本： 母體變異數（σ²） — 除以 N 樣本變異數（s²） — 除以 N − 1 標準差： 變異數的平方根，回到原始資料的單位（公尺、新臺幣、分鐘）。這是最常見的離散程度指標。 全距： 最大值 − 最小值。最簡單的離散量——實用，但對極端值極為敏感，因為它只取決於兩個數值。 母體變異數 vs 樣本變異數：N 還是 N−1？ 這是描述統計中最常見的混淆點。 母體變異數（σ²，除以 N）：當這 8 個數值就是整個研究對象的全體時使用——沒有更大的群體從中抽取這些值。例如：某次模擬考中，一班恰好 8 位同學的成績。 樣本變異數（s²，除以 N − 1）：當這 8 個數值是從更大母體隨機抽取的樣本，目的是估計母體真實變異數時使用。N − 1 的分母稱為貝塞爾校正，使 s² 成為不偏估計量。若直接除以 N，樣本變異數會系統性地低估真實的母體變異數。 直覺原因：樣本傾向於比母體更靠近自己的樣本平均數，而非真實的母體平均數——因此 SS ÷ N 平均而言偏小。除以 N − 1 能矯正這個偏誤。 經驗法則： 若資料為從更大群體中收集的樣本（問卷回覆、量測值、學測或統測分數），應使用樣本標準差。若這 8 個值已定義了所關心的全部對象，應使用母體標準差。 計算範例 — 考試成績 成績：12、15、11、19、14、22、9、17 平均數： (12 + 15 + 11 + 19 + 14 + 22 + 9 + 17) ÷ 8 = 119 ÷ 8 = 14.875 離均差平方和（SS）： (12 − 14.875)² = 8.27 (15 − 14.875)² = 0.02 (11 − 14.875)² = 15.02 (19 − 14.875)² = 17.02 (14 − 14.875)² = 0.77 (22 − 14.875)² = 50.77 (9 − 14.875)² = 34.52 (17 − 14.875)² = 4.52 SS = 130.875 母體標準差： σ=130.875÷8=16.36≈\sigma = \sqrt{130.875 \div 8} = \sqrt{16.36} \approx 4.04 樣本標準差： s=130.875÷7=18.70≈s = \sqrt{130.875 \div 7} = \sqrt{18.70} \approx 4.32 成績 22 是輕微的極端值——它單獨就佔了總 SS 的約 39%。 中位數的計算限制 中位數需要排序——從小到大排列後找到中間的值。8 個數值（N 為偶數）的中位數是排序後第 4 個與第 5 個數值的平均值。本計算機的引擎以代數方式評估公式，不支援對任意輸入進行排序。如需計算中位數，請使用試算表軟體（Excel 或 Google 試算表：MEDIAN()）。 常見問題（FAQ）母體標準差和樣本標準差有什麼不同？母體標準差（σ）以 N 為分母；樣本標準差（s）以 N−1 為分母。當這 8 個數值就是研究對象的全體時，用 σ。當這 8 個數值是從更大母體中抽取的樣本時，用 s。N−1 的分母稱為貝塞爾校正（Bessel's correction），可使 s 成為母體標準差的不偏估計量。若直接除以 N，樣本標準差會系統性地低估真實的母體標準差。 中位數怎麼計算？將數值由小到大排序。若 N 為奇數，中位數為最中間的數；若 N 為偶數（如本計算機的 8 個值），中位數為排序後第 4 與第 5 個數的平均值。本計算機不計算中位數，因為引擎不支援對任意輸入進行排序。如需計算中位數，可在 Excel 或 Google 試算表中使用 MEDIAN() 函數。 標準差代表什麼意思？標準差衡量資料圍繞平均數的離散程度。標準差越小，資料越集中；標準差越大，資料越分散。在常態分布下，約 68% 的數值落在距平均數一個標準差的範圍內，約 95% 落在兩個標準差內。 什麼時候應該用變異數而不是標準差？標準差與原始資料同單位，適合直觀報告。變異數則常用於數學推導與變異數分析（ANOVA），原因在於獨立資料集的變異數可以直接相加，標準差則不行。
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