最後更新：2026-05-26

定積分的定義

定積分衡量函數曲線與 x 軸之間，在閉區間 $[a, b]$ 上的帶號面積：

$\int_a^b P(x)\,dx$

「帶號」意指曲線位於 x 軸以下的部分面積計為負值。若曲線在區間某段低於零，該部分將從總面積中扣除。最終結果是一個確定的數值，而非函數。

微積分基本定理

將定積分化為可操作計算的核心結論，是微積分基本定理：

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

其中 $F(x)$ 是 $P(x)$ 的任意一個原函數，滿足 $F'(x) = P(x)$。

計算步驟如下：

①　求原函數 $F(x)$。

②　分別將上限 $b$ 與下限 $a$ 代入 $F$。

③　相減得結果。

這樣便不需要對無窮多個無窮小矩形求和，只需三個代數步驟。

多項式的冪次法則

對多項式的每一項，原函數由冪次法則給出：

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

對多項式逐項套用此法則，即可精確求得整個多項式的原函數。

範例 — $\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx$：

各項	冪次法則	原函數各項
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

因此 $F(x) = x^3 - x$。

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

係數輸入格式

係數須由最高次項到常數項依序輸入，以逗號分隔。

多項式	係數輸入
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$（常數）	7

輸入值的個數決定多項式的次數：四個值對應三次多項式。

帶號面積與上下限互換

定積分給出帶號面積，有兩個重要性質：

曲線位於 x 軸以下時： 面積貢獻為負值。例如 $\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}$，儘管幾何上的區域面積為 $\dfrac{1}{2}$。

當 $a > b$ 時： 積分值為從 $b$ 到 $a$ 積分的負數：

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

這並非錯誤，而是積分的基本性質。計算機能正確處理此情形：輸入 $a = 2,\ b = 0$ 所得結果，為 $a = 0,\ b = 2$ 時的負值。

積分常數

求不定積分時，原函數寫作 $F(x) + C$，其中 $C$ 為任意常數。計算定積分時，$C$ 會相消：

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

因此積分常數對定積分結果無影響，本計算機所顯示的原函數中省略不寫。$C$ 只在不定積分中才具有意義，此時原函數族寫作 $F(x) + C$。

適用範圍與數值積分方法

冪次法則僅適用於多項式（$n \geq 0$ 的整數次冪 $x^n$）。對於其他類型的函數，需採用不同方法：

函數類型	處理方式
$\sin x$、$\cos x$、$e^x$	已知原函數（精確解）
有理函數、代數函數	部分分數分解、換元積分
無封閉形式原函數	辛普森法則、高斯求積法

若被積函數無法表示為多項式，本計算機不適用，應改用數值積分方法或電腦代數系統。

實際應用

定積分廣泛應用於自然科學與工程領域：

• 物理學： 由速度求位移（$\int v\,dt$）、由力求功（$\int F\,dx$）。
• 經濟學： 消費者剩餘（需求曲線與市場價格之間的面積）。
• 機率論： 連續隨機變數落在 $[a, b]$ 區間的機率為 $\int_a^b f(x)\,dx$，其中 $f$ 為機率密度函數。
• 幾何學： 兩曲線之間的面積、旋轉體的體積。

常見問題（FAQ）

這個計算機可以計算哪些函數的積分？

本計算機僅支援多項式，即形如 P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ 的函數。對多項式逐項套用冪次法則，可得到精確的原函數，結果不含近似誤差。若需對非多項式函數（如 sin x、eˣ、ln x 等）求積分，則須採用數值積分方法，例如辛普森法則或高斯求積法。

下限大於上限（a > b）時，結果是否正確？

計算機仍能給出正確的帶號面積。根據定積分的性質，∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx。因此當 a > b 時，結果為從 b 到 a 積分值的負數。這在數學上完全成立，在建立重積分或處理通量積分時尤為常見。

什麼是原函數？為什麼需要它來計算定積分？

P(x) 的原函數 F(x) 是以 P(x) 為導函數的函數，即 F′(x) = P(x)。對單項式 aₙxⁿ 而言，冪次法則給出 aₙxⁿ⁺¹/(n+1)。對多項式積分時，逐項套用此法則後加總，即得整個多項式的原函數。微積分基本定理指出 ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a)，將積分問題化為單純的代入計算。

為什麼原函數中沒有顯示積分常數 C？

計算定積分時，積分常數 C 會相消：將 [F(x) + C] 在 a 到 b 之間求值，得到 (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a)，常數 C 對結果不產生影響，因此慣例上省略不寫。積分常數只在不定積分中才具有意義，此時原函數族寫作 F(x) + C。