最後更新：2026-06-23

這個計算機的用途

本計算機根據樣本求出估計母體平均數的誤差界限，並一併求出環繞樣本平均數的信賴區間。輸入信賴水準、標準差、樣本數與觀測到的樣本平均數即可。

誤差界限是什麼

當民意調查、問卷或實驗以樣本估計平均數時，估計值絕非精確值，另取一組隨機樣本便會得到略微不同的平均數。誤差界限量化這種抽樣不確定性，即結果旁回報的「正負」數值，例如「平均滿意度為 10 分中的 7.2 分，±0.3」。正式而言，它是信賴區間的半寬，也就是樣本平均數到區間任一端的距離。

公式

對於標準差已知（或估計良好）的母體平均數，誤差界限為：

• E——誤差界限（區間的半寬）
• z——標準常態分配的臨界值，由信賴水準決定（90% 為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576）
• σ——資料的標準差
• n——樣本數

$\sigma/\sqrt{n}$ 一項是平均數的標準誤，即樣本平均數抽樣分配的標準差。乘上臨界值便將其放大至所需的信賴水準。

信賴區間即樣本平均數加減此誤差界限：

因此具有誤差界限 $E$ 的樣本平均數 $\bar{x}$ 會得到由 $\bar{x} - E$ 到 $\bar{x} + E$ 的區間。在 95% 信賴水準下，這意指若研究重複進行多次，以此方式建立的區間中約有 95% 會涵蓋母體平均數的真值。

為何誤差界限隨 √n 縮小

由於樣本數在公式中位於平方根之下，誤差界限與 $1/\sqrt{n}$ 成比例下降，而非與 $n$ 本身成反比，這會產生效益遞減：

要將誤差界限減半，須將樣本數增為四倍。此平方根法則正是大型全國性調查仍回報數個百分點誤差的原因，也說明每多買一單位精確度，成本都會逐步上升。

計算範例

假設一個樣本數為 100 的樣本，其標準差為 15、平均數為 50，欲求 95% 的信賴區間。臨界值為 1.96：

誤差界限為 ±2.94，95% 信賴區間由 47.06 到 52.94。可解讀為：依此樣本，母體平均數合理地可能落在該範圍內的任一處。

當 σ 未知或 n 較小時

上述公式假設母體標準差 σ 已知，或樣本夠大、使樣本標準差 s 成為可靠的替代值，常見的經驗法則是 $n \geq 30$。

當 σ 未知且樣本較小時，將常態臨界值改為 t 分配的臨界值，其尾部較厚，以反映由資料估計 σ 時額外的不確定性：

t 值依自由度而定，較樣本數少一，且恆略大於對應的 z 值，故會使區間變寬。隨著 n 增大，t 值會收斂回 z 值。

比例的誤差界限

本計算機處理平均數的誤差界限。對於比例——例如回答「是」的受訪者占比——標準誤不同，誤差界限變為：

其中 $p$ 為樣本比例。此式在 $p$ 等於二分之一時最大，這也是民調機構常以該值計算保守的「最差情況」誤差界限的原因。

相關計算機

信賴區間計算機 會圍繞估計值建立完整區間，並可同時處理平均數與比例。若正在規劃研究、想事先選定 n 以達到目標誤差界限，可使用 平均數樣本數計算機 反推公式，求出所需的樣本數。