首頁 數學 信賴區間計算機 信賴區間計算機 輸入樣本平均數、標準差與樣本數，即可計算 90%、95%、99% 信賴區間及誤差範圍。 列印 輸入 樣本資料 樣本平均數 標準差 樣本數 ≥ 1 信賴水準 90%95%99% 結果 下界 上界 詳細資料 誤差範圍 臨界 Z 值 標準誤差 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-18 什麼是信賴區間？ 信賴區間提供母體未知參數（通常是平均值）可能落在的範圍，依據樣本資料估算而得。輸入樣本統計量並選擇信賴水準，即可看到信賴區間、誤差範圍與 Z 值。 計算公式 使用樣本平均值 xˉ\bar{x}、標準差 σ\sigma、樣本數 nn 及臨界 Z 值 z∗z^*： 標準誤差： SE=σnSE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}SE=nσ 誤差範圍： ME=z∗×SE=z∗×σnME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}ME=z∗×SE=z∗×nσ 信賴區間： CI=xˉ±ME=[xˉ−z∗σn, xˉ+z∗σn]CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]CI=xˉ±ME=[xˉ−z∗nσ, xˉ+z∗nσ] 臨界 Z 值（標準常態分配）： 信賴水準z∗z^*90%1.644995%1.960099%2.5758 信賴區間的正確解讀 最常見的誤解是：「真實平均值有 95% 的機率落在此區間內。」這是錯誤的。母體平均值 μ\mu 是一個固定的（未知）常數，並非隨機變數。區間本身才是隨機的。 正確解讀是：若以相同方式重複抽樣多次，並從每個樣本各建立一個 95% 信賴區間，約有 95% 的區間會包含真實的母體平均值。特定區間是否涵蓋 μ\mu，答案只有「包含」或「不包含」兩種，但真實值無從得知。 實用角度：95% 信賴區間代表可高度自信引用的估計範圍，平均每 20 個區間中有 1 個會遺漏真實值。 Z 分配與 t 分配的適用條件 本計算機使用 Z 分配（標準常態分配），適用於下列情況： 母體標準差 σ\sigma 已知，或 樣本數較大（n≥30n \geq 30），根據中央極限定理，抽樣分配近似常態分配 當 σ\sigma 未知且 $n < 30$ 時，請改用自由度為 $n - 1$ 的 t 分配。t 分配的尾部較厚，會產生較寬（較保守）的區間。當 n≥30n \geq 30 時，Z 與 t 的差異可忽略不計。 樣本數對區間的影響 誤差範圍會隨 n\sqrt{n} 的增大而縮小。若要將誤差範圍縮減為一半，需要四倍的樣本數，這是問卷調查設計中的關鍵限制。 樣本數ME（95%，σ = 10）n = 25±3.92n = 100±1.96n = 400±0.98n = 1600±0.49 實際範例：考試成績分析 一位教師從班上隨機抽取 35 份考卷，樣本平均分數為 47.3 分，標準差為 11.8。 標準誤差： SE=11.8/35≈1.994SE = 11.8 / \sqrt{35} \approx 1.994 95% 信賴區間： ME=1.96×1.994≈3.91ME = 1.96 \times 1.994 \approx 3.91 CI=[47.3−3.91, 47.3+3.91]=[43.4, 51.2]CI = [47.3 - 3.91,\ 47.3 + 3.91] = [43.4,\ 51.2]CI=[47.3−3.91, 47.3+3.91]=[43.4, 51.2] 解讀：「根據這 35 份樣本，我們以 95% 的信賴水準估計，全班平均分數落在 43.4 至 51.2 分之間。」 改用 99% 信賴水準時，區間會變寬：ME=2.576×1.994≈5.14ME = 2.576 \times 1.994 \approx 5.14，區間為 $[42.2,\ 52.4]$。信賴水準越高，區間越寬。 常見問題（FAQ）95% 信賴區間是什麼意思？95% 信賴區間並非指「真實母體平均數有 95% 的機率落在此區間內」。母體平均數是固定值，它要麼在區間內，要麼不在。正確的解讀是：若以相同方式重複抽樣並每次都建構信賴區間，長期下來約有 95% 的區間會包含真實母體平均數，而本次算出的區間只是其中之一。 誤差範圍如何計算？誤差範圍 = z* × (σ ÷ √n)，其中 z* 是對應信賴水準的臨界 Z 值（90% 為 1.645、95% 為 1.960、99% 為 2.576），σ 為標準差，n 為樣本數。以 σ = 11.8、n = 35、95% 信賴水準為例：標準誤差 SE = 11.8 ÷ √35 ≈ 1.994，誤差範圍 = 1.960 × 1.994 ≈ 3.91。 信賴區間與預測區間有何不同？信賴區間估計的是母體平均數所在的範圍；預測區間估計的是單一新觀測值可能落在的範圍。預測區間同時涵蓋平均數的不確定性與個別觀測值的變異，因此必然比信賴區間更寬。在常態分配下，95% 預測區間約為 x̄ ± 2σ。 什麼時候應該用 t 分配而非 Z 分配？在以下情況應改用 t 分配（以 t 值取代 Z 值）：①母體標準差 σ 未知，需從樣本估計；或②樣本數偏小（n < 30）且母體是否為常態分配不確定。若樣本數夠大（n ≥ 30），t 分配趨近於常態分配，Z 值即為良好近似。本計算機採用 Z 分配，適用於 σ 已知或 n ≥ 30 的情境。 推薦的下一個 描述統計計算機 計算最多 8 個數值的算術平均數、變異數與標準差，並區分 N（母體）與 N−1（樣本）兩種分母的差異。 深入了解組合計算機 — C(n, r) 計算組合數 C(n, r)：從 n 個元素中取出 r 個且不考慮順序的方法數。支援 n 最大至 20。 深入了解百分比計算機 提供三種百分比計算方式：求某數的百分比值、計算一個數佔另一個數的百分比，或由部分值與百分比反推總量。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機信賴區間計算機描述統計計算機 +3 more Show less 變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機 其他數學計算機 代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式定積分計算機多項式導數計算機配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機立體幾何 四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機機率 二項分布機率計算機常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 科學記數法轉換器最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機質因數分解計算機質數判斷器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-18 什麼是信賴區間？ 信賴區間提供母體未知參數（通常是平均值）可能落在的範圍，依據樣本資料估算而得。輸入樣本統計量並選擇信賴水準，即可看到信賴區間、誤差範圍與 Z 值。 計算公式 使用樣本平均值 xˉ\bar{x}、標準差 σ\sigma、樣本數 nn 及臨界 Z 值 z∗z^*： 標準誤差： SE=σnSE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}SE=nσ 誤差範圍： ME=z∗×SE=z∗×σnME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}ME=z∗×SE=z∗×nσ 信賴區間： CI=xˉ±ME=[xˉ−z∗σn, xˉ+z∗σn]CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]CI=xˉ±ME=[xˉ−z∗nσ, xˉ+z∗nσ] 臨界 Z 值（標準常態分配）： 信賴水準z∗z^*90%1.644995%1.960099%2.5758 信賴區間的正確解讀 最常見的誤解是：「真實平均值有 95% 的機率落在此區間內。」這是錯誤的。母體平均值 μ\mu 是一個固定的（未知）常數，並非隨機變數。區間本身才是隨機的。 正確解讀是：若以相同方式重複抽樣多次，並從每個樣本各建立一個 95% 信賴區間，約有 95% 的區間會包含真實的母體平均值。特定區間是否涵蓋 μ\mu，答案只有「包含」或「不包含」兩種，但真實值無從得知。 實用角度：95% 信賴區間代表可高度自信引用的估計範圍，平均每 20 個區間中有 1 個會遺漏真實值。 Z 分配與 t 分配的適用條件 本計算機使用 Z 分配（標準常態分配），適用於下列情況： 母體標準差 σ\sigma 已知，或 樣本數較大（n≥30n \geq 30），根據中央極限定理，抽樣分配近似常態分配 當 σ\sigma 未知且 $n < 30$ 時，請改用自由度為 $n - 1$ 的 t 分配。t 分配的尾部較厚，會產生較寬（較保守）的區間。當 n≥30n \geq 30 時，Z 與 t 的差異可忽略不計。 樣本數對區間的影響 誤差範圍會隨 n\sqrt{n} 的增大而縮小。若要將誤差範圍縮減為一半，需要四倍的樣本數，這是問卷調查設計中的關鍵限制。 樣本數ME（95%，σ = 10）n = 25±3.92n = 100±1.96n = 400±0.98n = 1600±0.49 實際範例：考試成績分析 一位教師從班上隨機抽取 35 份考卷，樣本平均分數為 47.3 分，標準差為 11.8。 標準誤差： SE=11.8/35≈1.994SE = 11.8 / \sqrt{35} \approx 1.994 95% 信賴區間： ME=1.96×1.994≈3.91ME = 1.96 \times 1.994 \approx 3.91 CI=[47.3−3.91, 47.3+3.91]=[43.4, 51.2]CI = [47.3 - 3.91,\ 47.3 + 3.91] = [43.4,\ 51.2]CI=[47.3−3.91, 47.3+3.91]=[43.4, 51.2] 解讀：「根據這 35 份樣本，我們以 95% 的信賴水準估計，全班平均分數落在 43.4 至 51.2 分之間。」 改用 99% 信賴水準時，區間會變寬：ME=2.576×1.994≈5.14ME = 2.576 \times 1.994 \approx 5.14，區間為 $[42.2,\ 52.4]$。信賴水準越高，區間越寬。 常見問題（FAQ）95% 信賴區間是什麼意思？95% 信賴區間並非指「真實母體平均數有 95% 的機率落在此區間內」。母體平均數是固定值，它要麼在區間內，要麼不在。正確的解讀是：若以相同方式重複抽樣並每次都建構信賴區間，長期下來約有 95% 的區間會包含真實母體平均數，而本次算出的區間只是其中之一。 誤差範圍如何計算？誤差範圍 = z* × (σ ÷ √n)，其中 z* 是對應信賴水準的臨界 Z 值（90% 為 1.645、95% 為 1.960、99% 為 2.576），σ 為標準差，n 為樣本數。以 σ = 11.8、n = 35、95% 信賴水準為例：標準誤差 SE = 11.8 ÷ √35 ≈ 1.994，誤差範圍 = 1.960 × 1.994 ≈ 3.91。 信賴區間與預測區間有何不同？信賴區間估計的是母體平均數所在的範圍；預測區間估計的是單一新觀測值可能落在的範圍。預測區間同時涵蓋平均數的不確定性與個別觀測值的變異，因此必然比信賴區間更寬。在常態分配下，95% 預測區間約為 x̄ ± 2σ。 什麼時候應該用 t 分配而非 Z 分配？在以下情況應改用 t 分配（以 t 值取代 Z 值）：①母體標準差 σ 未知，需從樣本估計；或②樣本數偏小（n < 30）且母體是否為常態分配不確定。若樣本數夠大（n ≥ 30），t 分配趨近於常態分配，Z 值即為良好近似。本計算機採用 Z 分配，適用於 σ 已知或 n ≥ 30 的情境。
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