最後更新：2026-05-18

球體的幾何量

球體是三維空間中，到中心點等距的所有點所構成的立體圖形。給定半徑 r，可計算其體積、表面積與直徑；公式適用於任何完美球體，包含運動用球、地球儀、儲水槽及行星等。

公式

對於半徑為 r 的球：

屬性	公式
體積	V = (4/3)πr³
表面積	A = 4πr²
直徑	d = 2r

(4/3)π 的來源

約公元前 250 年，阿基米德證明球的體積恰好是外接圓柱（半徑 r、高 2r）體積的三分之二。由於圓柱體積為 2πr³，球的體積即為 (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³。

用積分同樣可得到此結果：將球從 −r 到 r 切成無數圓形截面並積分：

V = ∫₋ᵣʳ π(r² − x²) dx = (4/3)πr³

表面積公式的推導

對體積 V 關於 r 微分，得 dV/dr = 4πr²，恰好等於球的表面積。阿基米德亦證明了球的表面積等於外接圓柱的側面積，並將此幾何關係刻於其墓碑之上。

立方縮放：半徑加倍

由於體積與 r³ 成正比，半徑加倍時體積變為 8 倍。此比例關係決定了不同尺寸球體之間的容量差距：

半徑倍數	體積倍數	表面積倍數
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

籃球（r ≈ 12 cm）能容納的空氣約是網球（r ≈ 6 cm）的 8 倍，儘管看起來只大了兩倍。

計算範例

範例 1 — 足球

標準足球的周長約為 68.5 cm，因此 r = 68.5 / (2π) ≈ 10.9 cm。

體積： V = (4/3) × π × (0.109)³ ≈ 0.00542 m³ ≈ 5.42 公升 表面積： A = 4 × π × (0.109)² ≈ 0.149 m² ≈ 1490 cm²

範例 2 — 球形水塔

半徑 2 m 的球形水塔可儲存：

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33.51 m³ ≈ 33,510 公升

表面積 A = 4π × 4 ≈ 50.27 m² 是估算塗裝或隔熱材料用量的依據。

範例 3 — 由體積求半徑

若球的體積恰好為 1 m³，其半徑為：

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 m（約 62 cm）

常見問題（FAQ）

球體體積的公式是什麼？

球體體積公式為 V = (4/3)πr³，其中 r 為半徑。例如 r = 5 cm 的球，V = (4/3) × π × 125 ≈ 523.6 cm³。這個公式由阿基米德透過將球體與外接圓柱比較而推導出來。

如何計算球體的表面積？

球體表面積公式為 A = 4πr²。例如 r = 5 cm 時，A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314.2 cm²。阿基米德證明了球的表面積等於外接圓柱的側面積，並將此結果刻於其墓碑上。

半徑加倍後，體積會變成多少？

由於體積與 r³ 成正比，半徑加倍後體積變為 2³ = 8 倍。r = 10 cm 的球比 r = 5 cm 的球大 8 倍。若半徑為 3 倍，則體積增加到 27 倍。

已知體積，如何求球的半徑？

由 V = (4/3)πr³ 解出 r，得 r = ∛(3V / (4π))。例如 V = 1 m³ 時，r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 m。