最後更新：2026-07-01

圓的方程式

圓是與一個定點（圓心 $(h, k)$）保持固定距離（半徑 $r$）的所有點所構成的集合。把這個定義寫成座標，就得到圓的標準式：

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

把平方展開、合併同類項，便得到一般式：

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

兩個方程式描述的是同一個圓。標準式把圓心與半徑清楚呈現；一般式把它們隱藏起來，卻是方程式以「原始」形式出現時自然得到的樣子。本計算器可在兩者之間雙向轉換。

由一般式求圓心與半徑

給定 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，圓心與半徑為：

$\text{圓心} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

圓心座標可直接由 $x$ 與 $y$ 的係數讀出。至於半徑，根號內的量（判別量 $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$）必須為正，才會存在真正的圓。

配方法

這個轉換其實就是同時對兩個變數做的配方法。從一般式開始分組：

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

要完成每個平方，把一次項係數一半的平方加到等號兩邊 —— $x$ 組加 $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$，$y$ 組加 $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$：

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

左邊現在是以 $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$ 為中心的兩個完全平方之和，右邊則是 $r^2$。這正是標準式。

範例

問題： 求 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ 的圓心與半徑。

步驟 1 — 找出係數： $D = -4$、$E = 6$、$F = 9$。

步驟 2 — 求圓心：

$\text{圓心} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

步驟 3 — 求半徑：

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

因此這個圓的圓心為 $(2, -3)$、半徑為 $2$，其標準式為 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$。

由圓心與半徑回到一般式

反過來，把標準式的平方展開即可。當圓心為 $(h, k)$、半徑為 $r$ 時：

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

以上例而言，$h = 2$、$k = -3$、$r = 2$ 可得 $D = -4$、$E = 6$、$F = 4 + 9 - 4 = 9$，恰好回到原本的一般式 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$。

何時沒有實圓

只有當判別量為正時，半徑才是實數：

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

會出現三種情形：

• 判別量為正 —— 一個半徑為 $r = \sqrt{\text{判別量}}$ 的實圓。
• 判別量為零 —— 方程式縮為單一點 $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$，即半徑為 $0$ 的退化「點圓」。
• 判別量為負 —— 沒有任何實數點滿足方程式。這有時稱為虛圓，幾何上沒有任何東西可畫。

例如 $x^2 + y^2 + 1 = 0$ 的 $D = E = 0$、$F = 1$，所以判別量為 $-1$。沒有任何實數 $(x, y)$ 能讓平方和等於 $-1$，因此沒有圓。

一般式為何重要

一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 是 $x^2$ 與 $y^2$ 係數相等、且沒有 $xy$ 項的二次方程式 —— 這正是圓在圓錐曲線中的代數特徵。認得它，就能在動筆計算之前一眼判斷一條雜亂的二次方程式是否為圓（平方項係數相等、沒有交叉項），而配方法接著就會揭露它的圓心與半徑。

常見問題（FAQ）

圓的標準式與一般式有什麼不同？

標準式 (x − h)² + (y − k)² = r² 直接顯示圓心 (h, k) 與半徑 r，可立即讀出。一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 是展開後的形式，圓心與半徑被隱藏，但便於代數運算與和其他圓錐曲線比較。兩者描述同一個圓，可透過配方（一般式 → 標準式）或展開平方（標準式 → 一般式）互相轉換。

如何由 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 求圓心與半徑？

分別對 x 與 y 配方。圓心為 (−D/2, −E/2)，半徑為 r = √(D²/4 + E²/4 − F)。例如 x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 的圓心為 (2, −3)，半徑為 √(4 + 9 − 9) = √4 = 2。

配方如何把一般式變成標準式？

將 x 項與 y 項分組：(x² + Dx) + (y² + Ey) = −F。兩邊各加上 (D/2)² 與 (E/2)² 以完成每個平方：(x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F。左邊現在是以 (−D/2, −E/2) 為中心的兩個完全平方，右邊即為 r²。這就是標準式。

方程式何時不代表實圓？

半徑平方為 r² = D²/4 + E²/4 − F。若此值為負，則沒有任何實數 (x, y) 能滿足方程式，因此沒有圓（有時稱為虛圓）。若恰好為零，方程式縮為圓心一個點 —— 半徑為 0 的退化「點圓」。真正的圓需要 D²/4 + E²/4 − F > 0。